高中数学讲义复合函数零点问题

-1-复合函数零点问题一、典型例题例1：设定义域为R的函数1,111,1xxfxx，若关于x的方程20fxbfxc由3个不同的解123,,xxx，则222123xxx______例2：关于x的方程22213120xx的不相同实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8思路：可将21x视为一个整体，即21txx，则方程变为2320tt可解得：1t或2t，则只需作出21txx的图像，然后统计与1t与2t的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数11()||||fxxxxx，关于x的方程2()()0fxafxb（,abR）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．思路：所解方程2()()0fxafxb可视为20fxafxb，故考虑作出fx的图像：2,12,012,102,1xxxxfxxxxx，则fx的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有122,02fxfx，所以122,4afxfx，解得42a答案：42a例4：已知定义在R上的奇函数，当0x时，121,0212,22xxfxfxx，则关于x的方程2610fxfx的实数根个数为（）A.6B.7C.8D.9-2-思路：已知方程2610fxfx可解，得1211,23fxfx，只需统计11,23yy与yfx的交点个数即可。由奇函数可先做出0x的图像，2x时，122fxfx，则2,4x的图像只需将0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：已知函数243fxxx，若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A.2,0B.2,1C.0,1D.0,2思路：考虑通过图像变换作出fx的图像（如图），因为20fxbfxc最多只能解出2个fx，若要出七个根，则121,0,1fxfx，所以121,2bfxfx，解得：2,1b答案：B例6：已知函数21,0log,0axxfxxx，则下列关于函数1yffx的零点个数判断正确的是（）A.当0a时，有4个零点；当0a时，有1个零点B.当0a时，有3个零点；当0a时，有2个零点C.无论a为何值，均有2个零点D.无论a为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程1ffx的解的个数，先作出fx的图像，直线1yax为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a时，图像如图所示，先拆外层可得12210,2fxfxa，而1fx有两个对应的x，2fx也有两个对应的x，共计4个；当0a时，fx-3-的图像如图所示，先拆外层可得12fx，且12fx只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A例7：已知函数232211,0231,31,0xxfxxxgxxx，则方程0gfxa（a为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析,fxgx的性质以便于作图，'23632fxxxxx，从而fx在,0,2,单增，在0,2单减，且01,23ff，gx为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取fx能对应x较多的情况，由fx图像可得，当3,1fx时，每个fx可对应3个x。只需判断gfxa中，fx能在3,1取得的值的个数即可，观察gx图像可得，当51,4a时，可以有2个3,1fx，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例8：已知函数yfx和ygx在2,2的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程0fgx有且只有6个根（2）方程0gfx有且只有3个根（3）方程0ffx有且只有5个根-4-（4）方程0ggx有且只有4个根则正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数。（1）中可得1232,1,0,1,2gxgxgx，进而1gx有2个对应的x，2gx有3个，3gx有2个，总计7个，（1）错误；（2）中可得122,1,0,1fxfx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得1232,1,0,1,2fxfxfx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，3fx有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：122,1,0,1gxgx，进而1gx有2个对应的x，2gx有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有2个答案：B