2014 步步高 数学 大一轮 第四章4.7 解三角形应用举例

§4.7解三角形应用举例数学RA（理）第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．基础知识·自主学习解三角形应用题的两种情形难点正本疑点清源要点梳理基础知识题型分类思想方法练出高分2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图①)．(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．基础知识·自主学习解三角形应用题的两种情形难点正本疑点清源要点梳理上方下方基础知识题型分类思想方法练出高分(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．基础知识·自主学习解三角形应用题的两种情形难点正本疑点清源要点梳理正北基础知识题型分类思想方法练出高分3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．基础知识·自主学习解三角形应用题的两种情形难点正本疑点清源要点梳理基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测103130°6500(3＋1)B基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一测量距离问题思维启迪解析探究提高【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．思维启迪解析探究提高测量距离问题【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．题型分类·深度剖析题型一解如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，思维启迪解析探究提高测量距离问题∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．思维启迪解析探究提高测量距离问题【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．题型分类·深度剖析解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC＝507(米)．507基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．题型分类·深度剖析题型二测量高度问题思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．思维启迪解析探究提高【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．题型分类·深度剖析题型二解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，思维启迪解析探究提高测量高度问题∴BD＝40sin30°sin135°＝202(米)．∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．动画展示基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高测量高度问题在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2如图所示，B，C，D三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(αβ)，则A点距地面的高AB为____________．题型分类·深度剖析解析AB＝ACsinβ，ACsinα＝DCsin∠DAC＝asinβ－α，解得AB＝asinαsinβsinβ－α.asinαsinβsinβ－α基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．题型分类·深度剖析题型三测量角度问题思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．思维启迪解析探究提高【例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．测量角度问题基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h．此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，测量角度问题基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．测量角度问题即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h才能靠近渔轮．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．思维启迪解析探究提高【例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．测量角度问题基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.217B.2114C.3211