复合函数和初等函数

1.1.4复合函数、初等函数基本初等函数1、常数函数2、幂函数3、指数函数4、对数函数)(是常数CCy)1,0(aaayx)1,0(logaaxya)(0,aaxya是常数课前复习6、反三角函数xyarcsinxyarccosxyarctanxycotarc5、三角函数xysinxycosxytanxycotxysecxycsc定义1.6设y是u的函数)(ufy，u又是x的函数)(xu，如果函数)(xu的值域包含在函数)(ufy的定义域内，则通过变量u，y也是x的函数．我们称这样的函数y为)(ufy和)(xu的复合函数，记作)]([xfy，其中u称为中间变量．1.复合函数例如：2arcsinxy可看作由uyarcsin复合而成。2xu和1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是函数“套”函数。注意：其中，uyarcsin为外层，2xu为内层。2、可以把[()]yfx中的()yfu称为外层，()ux称为内层。而)]([xfgx2sin。2)(,sin)(xxgxxf，4、注意复合次序：则)]([xgf2sinx，3、不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。,arcsin)(uufy22xu如复合后的函数要有意义设2cos,ln,2xvvuuy,则这三个函数的复合为5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。例1函数)lg(sin2xy可看成函数例2,uy,lgvu,sinwv2xw的复合。2lnyv2ln(cos2)x例3指出下列各函数的复合过程：(1)sinyx21(2)xye2(3)cos(39)yx2(4)lg(11)yx重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层均为简单函数。解：（1）函数sinyx是由sin,yuux复合而成的（2）函数21xey是由,uye,uv21vx复合而成的（3）)93(cos2xy是由2,cos,yuuv93xv复合而成的（4）2lg(11)yx是由lg,yu1,uv,vz21zx复合而成的2,cos,yuuvxy2sin1e：uye，321xxy：,3uy,12vuxvsin.,wxu,tw.12xt例4例5*例632(1)lnlnln(1)yx23(2)lnlnln(1)yx解：（1）原函数由3,yuln,uv2,vwln,wzln,zt1tx复合而成（2）原函数由ln,yu2,uvln,vw3,wzln,zt1tx复合而成定义1.7由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，，21xy，xy2sin，)sin1ln(xy等等。本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.xexy2ln2.初等函数多项式函数：1110()nnnnfxaxaxaxa(012...)iain为常数，，，，，有理函数：01110111)(bxbxbxbaxaxaxaxfmmmmnnnn)210210,,(njnibaji，，，，；，，，，为常数都是初等函数．1.1.5分段函数.10),10(9.18.12,104),4(3.15,40,5xxxxxy如0,0,||xxxxxy定义1.8若函数)(xfy在它的定义域内的不同区间（或不同点）上有不同的表达式，则称它为分段函数．注意:(1)分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函数，不能理解为几个函数;(2)它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集;(3)求分段函数的函数值0()fx时，要根据0x所在的范围选用相应的解析式，其图象要分段作出.例7设函数2,20;()2,0;1,03.xxfxxxx（1）求函数的定义域；（2）求)1(),0(),1(),2(ffff；（3）作出函数的图象．解：(1)函数的定义域是]3,2[．(2)由于)0,2[2，2()fxx，故2(2)(2)4f；同理2(1)(1)1f；2)0(f；211)1(f．2xyxy1Ｏxy12（3）-243不是初等函数；10sgn0010xyxxx符号函数0||000xxyxxxx因为2||.yxx分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数而是初等函数，思考：分段函数是初等函数吗？（）1．下列函数为复合函数的是Ａ．xy)21(Ｂ．21exyＣ．1223xxyＤ．xysin1（）2．下列函数为复合函数的是Ａ．15xyＢ．4cosxyＣ．xey)5(Ｄ．　15xy课堂练习DD（）3.设2sin)(xxf，且1)(2xx，则)]([xfＡ．22)1sin(xyＢ．)1(sin22xyＣ．)1sin(2xyＤ．1sin22xyA（）4.下列函数不是初等函数的为Ａ．112xxyＢ．1111xxyxxＣ．1111xxyxxＤ．2arccos(2)yxE.3xyB5．设函数21()tan,(),[()]fxxgxfgxx则_______.6．设23,,tanuyuvvx，则复合函数()yfx_________；7．设函数()35,[()2]fxxffx则________；8．设21()ln,()e,[()]xfxxgxfgx则_______；21tanxx2tan3149x12x9．函数xay2是由简单函数_______________________________________________复合而成的；10．函数)ln(arccos2xy是由简单函数______________________________________复合而成的；11．函数221sinxy是由简单函数____________________________________________复合而成的.2,arccos,lnxvvuuy221,sin,xvvuuyxuayu2,12．函数21xxy是由简单函数__________________________________________________复合而成的；13．函数)1ln(2xxy是由简单函数___________________________________________复合而成的21,,xvvuuxy1,,,ln2xwwvvxuuy课后小结1.复合函数（1）复合函数的特征是函数“套”函数。复合只是一种形式，不是函数的新类型。（2）不是任何函数都可以复合成一个函数。复合后的函数要有意义。（3）可以把[()]yfx中的()yfu称为外层，()ux称为内层。（4）分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层均为简单函数为止。2.初等函数–由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.–本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.3.分段函数–分段函数是其定义域内的一个函数.–分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．作业：习题1.1：7（1）~（5）预习：数列的极限