《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第九章 平面解析几何 第四节

考纲考向分析核心要点突破第四节双曲线考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.双曲线的定义.2.双曲线的方程.3.双曲线的几何性质.1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.知道双曲线的简单几何性质.求双曲线的方程，利用双曲线方程研究参数a，b，c，e的内在联系及渐近线等内容.高考试题的考查角度有两种：一种是求双曲线的方程；一种是通过方程研究双曲线的性质.预计高考对本节内容的考查仍将以求双曲线的方程及性质为主，与向量、直线、圆等知识综合考查的命题趋势较强，备考时应予以关注.考纲考向分析核心要点突破知识点一双曲线的定义及方程1.双曲线的定义双曲线的两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|＝2c，对双曲线上任意一点M都有||MF1|－|MF2||＝2a2c.这个条件是必要的，否则其轨迹就不是双曲线.事实上，若2a＝2c，其轨迹是以F1、F2为端点且方向相反的；若2a2c，其轨迹.两条射线不存在考纲考向分析核心要点突破2.双曲线的方程求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.若双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为_________(a0，b0)；若双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线方程为_________(a0，b0)；若焦点位置无法确定时，可设双曲线方程为(mn0)或Ax2－By2＝1(AB0)的形式，这样可避开讨论，减少运算量.x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1x2m－y2n＝1考纲考向分析核心要点突破知识点二双曲线的几何性质1.双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围__________________________x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a考纲考向分析核心要点突破性质对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：_________对称轴：x轴，y轴对称中心：坐标原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点坐标(±c，0)(0，±c)渐近线————离心率e＝，e∈________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)坐标原点y＝±baxy＝±abxca(1，＋∞)考纲考向分析核心要点突破2.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝____，渐近线方程为________.2y＝±x考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)一个定义：双曲线的定义：||PF1|－|PF2||＝2a|F1F2|.(2)两种方程：①焦点在x轴上的双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0).②焦点在y轴上的双曲线方程为：y2a2－x2b2＝1(a0，b0).(3)“六点”“四线”“两形”：①“六点”：两个焦点，两个顶点，两个虚轴端点；②“四线”：两条对称轴，两条渐近线；③“两形”：中心、焦点以及虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上的点及两焦点构成的焦点三角形.考纲考向分析核心要点突破2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1).3.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.考纲考向分析核心要点突破方法1双曲线的几何性质求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式.再利用双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.考纲考向分析核心要点突破【例1】(2012·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()A.233B.62C.2D.3[解题指导](1)已知：F1，F2为双曲线左、右两焦点，B为虚轴端点，直线F1B与两条渐近线分别交于P，Q两点，PQ的垂直平分线与x轴交于点M，且|MF2|＝|F1F2|.(2)分析：通过垂直平分线的性质与坐标间的关系建立a，b，c的等式，从而求得离心率.考纲考向分析核心要点突破解析由y＝bax，y＝bc（x＋c）可解得x＝acc－a，y＝bcc－a，即Qacc－a，bcc－a.由y＝－bax，y＝bc（x＋c）可解得x＝－acc＋a，y＝bcc＋a，即P－acc＋a，bcc＋a.设PQ的中点为N，则Na2cc2－a2，bc2c2－a2，而M(3c，0).∴kMN·bc＝－1，即bc24a2c－3c3＝－cb，整理得2c3＝3a2c，即e2＝32，解得e＝62.答案B考纲考向分析核心要点突破[点评]解答此类题目的关键是将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.考纲考向分析核心要点突破方法2求焦点不定的双曲线方程双曲线标准方程的求解步骤：考纲考向分析核心要点突破【例2】已知双曲线的渐近线方程是y＝±23x，焦距为226，求双曲线的标准方程.解当双曲线的焦点在x轴上时，可得到双曲线的方程为x218－y28＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，由ab＝23，c2＝a2＋b2＝26，解得b2＝18，a2＝8，所以所求双曲线的方程为y28－x218＝1.综上可知，所求双曲线的标准方程为x218－y28＝1或y28－x218＝1.考纲考向分析核心要点突破[点评]当题目条件没有明确双曲线的焦点所在的轴时，应当分两种情况来讨论.同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±bax，焦点在y轴上时，渐近线方程则为y＝±abx.