毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的相关研究

本科毕业设计（论文）(2015届)题目:矩阵的特征值与特征向量的相关研究学院:数理与信息工程学院专业:数学与应用数学学生姓名:学号:指导教师:职称:合作导师:职称:完成时间:201年月日成绩:浙江师范大学本科毕业设计(论文)正文目录摘要……………………………………………………………………………………1英文摘要………………………………………………………………………………11引言………………………………………………………………………………12选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质………………………………22.1选题背景……………………………………………………………………22.2特征值与特征向量的定义…………………………………………………22.3特征值与特征向量的性质………………………………………………23矩阵的特征值与特征向量的求解方法…………………………………………33.1求解数字方阵的特征值与特征向量………………………………………33.2已知矩阵A的特征值与特征向量,求与A相关的矩阵的特征值………74矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解……………………………………74.1矩阵的全部特征值与全部特征向量,反求解矩阵A的方法…………………74.2已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量,反求矩阵A的方法…………………………………………………………………95矩阵的特征值与特征向量的应用………………………………………………95.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用……………………95.2经济发展和环境污染的增长模型…………………………………………146结论………………………………………………………………………………16参考文献……………………………………………………………………………161矩阵的特征值与特征向量的相关研究摘要:矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块,但是其重要性无可比拟,它可以应用在数学和生活上,尤其是对现在的科学技术领域,有着至关重要的作用.本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念,性质,解法以及应用,通过具体的例子,来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性,深刻研究了矩阵的特征值与特征向量和它相关的应用.正文总共分为四个大部分.第一部分:阐述了它的概念和性质;第二部分:对于它的求解方法,本篇论文叙述了几种不同的方法,并且有相关例题的作法;第三部分:关于它的反问题,本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法;第四部分:关于它在数学领域和生活上的应用.矩阵;特征值;特征向量;反问题;应用关键词:Correlationmatrixeigenvaluesandeigenvecto-rsMathematicalandInformationEngineeringMathematicsandAppliedMathematicsChenDong（11170126）Instructor:LvjiaFeng(AssociateProfessor)Abstract:Eigenvaluesandeigenvectorsoccupythehighermathematicsinasmall,butitsimportanceisunparalleled,itcanbeusedinmathematicsandlife,especiallyinthefieldofscienceandtechnologyrightnow,hasavitalrole.Thispaperdescribesandsummarizesthemaincharacteristicsandeigenvectormatrixconcept,nature,solutionandapplications,throughspecificexamples,toreflectthebreadthandpracticalitymatrixeigenvaluesandeigenvectors,profoundstudyofmatrixeigenvaluesandspecialEigenvectorsanditsrelatedapplications.Totalbodyisdividedintofourparts.Thefirstpart:itdescribestheconceptandnature;PartII:Foritssolutionmethod,thispaperdescribesseveraldifferentmethods,andrelevantexamplesofpractice;PartIII:Antiquestionaboutit,thispapersarealsoseveraldifferentcorrespondingmethodforsolving;partIV:onitsapplicationinthefieldofmathematicsandlife.KeyWords:Matrix;eigenvalues;featurevector;inverseproblem;Application1引言在已经有相关深刻探讨的前提下,本篇论文给出了它的的概念以及它的性质,掌握它的性质是研究其求解方法的前提,所以要先熟悉它的性质,再对它的求解方法作详细的步骤和说明.本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用,展现了它在矩阵运算中的重大作用,在例题的求解过程中充分运用某些性质,使得问题变得简单,运算方面上也更简洁,是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径.本篇论文通过一些具体的例题2详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法,并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性.2特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质2.1选题背景随着科技的迅猛发展,现在的社会发展的速度日益增加,高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透,它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显..物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题.但是通过特征方程求解它是有一点难度的,而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式,而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题.本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳,并且有相关的例题给予帮助理解.2.2特征值与特征向量的定义它在《高等代数》和《线性代数》课程中占据了一席之地,在大多数的《高等代数》教材中,把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换A/的,它的定义如下:定义1设A/是数域P上的线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中的数,存在一个不是零的向量V,使得A/那么是矩阵A的一个特征值,向量x称作矩阵A关于特征值的特征向量.在大多数的《线性代数》的教材中,它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分,它的定义如下所述:定义2设A是n阶的方阵,如果存在数字和n维不是零的向量x,使得xAx那么就称是A的特征值,x是A的对应特征值的特征向量．2.3特征值与特征向量的性质（1）如果i是A的ir重的特征值,A所对应的特征值i就会有iS个线性无关的特征向量．（2）如果21,xx都是矩阵A的属于特征值0的特征向量,那么当21,kk不全都是零时,2211xkxk依然是A的属于特征值0的特征向量．（3）如果n,...,,21是矩阵A的互相不一样的特征值,而且它所对应的特征向量分别是nxxx,...,,21,那么nxxx,...,,21线性无关．(4)如果nnijaA的特征值是n,...,,21,那么3nnnaaa......221121,An...21.（5）实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同的特征值的特征向量正交．（6）如果i是实对称矩阵A的ir重的特征值,那么所对应特征值i刚好有ir个线性无关的特征向量．（7）假设λ是矩阵A的特征值,)(xP是多项式的函数,那么)(P是矩阵多项式)(AP的特征值．3.矩阵的特征值与特征向量的求解方法3.1求解数字方阵的特征值与特征向量（1）求解特征多项式AEfA.（2）特征方程0AE,它的全部根n,...,,21就是A的全部的特征值．（3）对于任何一个特征值nii1,求解出齐次的方程组0xAEi的一个基础解系iriiaaa,...,,21就是A的属于nii1的线性无关的特征向量.那么A的属于i的全部的特征向量是iiiiiakakak...2211,其中ikkk,...,,21是不全都是零的数.求解特征多项式是解决问题的难度所在,方法一:观察特征矩阵的每一行之和,如果相等而且都是a,那么将第2列及以后各列都加到第1列,提取公因子,再作化简,而且a就是其中的一个特征值,T1,...,1,1是A的属于特征值a的特征向量．方法二:将特征矩阵的的两个不是零的常数（不含参数）之一化为零,如果有公因子,提取出来再作化简.从上述可以知道,求解它是相当繁琐的．这里将阐述一个有效的方法,只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它,所以给出如下定义:定义:称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换:（1）互相更换矩阵的i,j两列,同时互相更换矩阵的i,j两行;（2）矩阵的第i行乘以不是零的数字k,同时矩阵的第i列乘以k1;（3）矩阵的第i行乘以k倍加到矩阵的第j行,同时第j列乘以−k倍加到矩阵的第i列.定理:A为n阶的可以对角化的矩阵,而且TDP一系列行列互逆变换nTEA,其中,nD1nTP1iniibb1ni,...,1,那么n,...,,21是A的全部特征值,Tii是A的属于i的特征向量.4证明:因为DPAPTTT1)(即DDAPPT1从而AP=PD因为nD1nP1所以nnnA111则nnnA111所以niAiii,,1),0(为了运算的简洁,约定:（1）ijkaa表示为矩阵的第i行乘以k倍加到第j行.（2）ijkaa表示为矩阵的第i列乘以-k倍加到第j列.因为用定理求解题目时,总是会遇到一些类似bcaB0或者bcaC0（ba）形式的矩阵的化对角阵的问题,所以给出对应的求解方法:1001010011221kr-rkrr2bkabacaEBT，第二行第一行或10010100102112krrkrr2kbabcaECT，第二行第一行其中,)(back,所以Tk,11,T1,02是B的分别属于特征值a和b的特征向量.T0,11,Tk1,2是C的分别属于特征值a和b的特征向量.下面将有3道例题来说明其求解方法,第一道例题不使用刚才描述的方法,则后面两道例题运用,以此来说明这个方法的可操作性以及简便性.5例1:求解矩阵436102111A的特征值与特征向量.解:100010001436121113IA001010100634211113,11110101002314111001211312211110100114011001223