最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与复习

第一章直角三角形的边角关系小结与复习北师大版九年级数学下册1.锐角三角函数定义:的邻边的对边AAtanA=ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边斜边的对边AsinA=斜边的邻边AcosA=回顾与思考1.结论:梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA有关:tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡;cosA越____,梯子越陡.2.在∠A+∠B=90°时，_________3、锐角正切，正弦，余弦的取值范围回顾与思考1tantanBABAcossinBAsincostanA00sinA11cosA04.同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1..AcosAsinAtan特殊角的三角函数值表三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα300450600回顾与思考如何变化？随和为锐角，若AAAAcossin.1的增大而减小随的增大而增大随AAAAcossin2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角朝下看时，视线与水平面夹角为俯角水平宽度铅直高度tani1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=,则AC=_______.【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，所以∠B=∠CAD；因为cosB=,所以在Rt△ADC中，cos∠CAD==cosB=,又因为AD=4，所以AC=5.答案：5454545ADAC2.如图：把一张给定大小的长方形卡片ABCD放在宽为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=32°，求长方形卡片的周长.(参考数据：sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6)【解析】作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F，则△ABE和△AFD均为直角三角形,在Rt△ABE中，∠ABE=∠α=32°,∴∵∠FAD=90°-∠BAE,∠α=90°-∠BAE,∴∠FAD=∠α=32°.在Rt△AFD中，∴长方形卡片ABCD的周长为(40+50)×2=180(mm).AEsinABE,AB2020AB40.sin320.5AFcosFAD,ADAF40AD50.cos320.8特殊角的三角函数值【例2】计算：【思路点拨】【自主解答】原式201130151()(cos68)338sin60.23181|338|83.260tan60tan60tan2-13.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm,则阴影部分的面积是______cm2.【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=14×=7(cm).因为∠ACB=∠AED=90°,所以CB∥ED,所以∠AFC=∠ADE=45°,所以CF＝AC=7cm,S阴＝×7×7=(cm2).答案：12124924921.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()(A)扩大2倍(B)缩小2倍(C)扩大4倍(D)不变【解析】选D.各边长度都扩大为原来的2倍，∠A的大小不变，则∠A的正弦值不变.4.已知在△ABC中，∠C=90°，设sinB=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是()【解析】选A.由题意知，∠B的最大值趋近于45°，sin45°=根据正弦函数值随角度的增大而增大得知sinB＜21A0nB0n2233C0nD0n32＜＜＜＜＜＜＜＜2.22.25.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC中，AC⊥AB，AD=CD，cos∠DCA=BC=10,则AB的值是()(A)9(B)8(C)6(D)3【解析】选C.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵AD=CD,∴∠DCA=∠DAC,∴∠BCA=∠DCA,∴cos∠BCA=cos∠DCA=∵BC=10,∴AC=8,∴AB=6.4,54,510.如图,在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则我们不难发现：sin260°+cos260°=1.试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由.abasinA,cosA,tanA.ccb【解析】存在的一般关系有：(1)sin2A+cos2A=1;∵∴(2)tanA=∵∴222absinA,cosA,abc,cc22222222222ababcsinAcosA1.ccccsinA.cosAabsinA,cosA,ccaasinActanA.bbcosAc1.（2014•滨州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.52.（2014广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35，则cosB的值是（）A.45B.35C.34D.43A中考链接B3.(2013年深圳市)如图，已知321////lll，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）A.31B.176C.55D.1010D图3l3l2l1αBCA中考链接DE4.（2013甘肃兰州）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．c·sinA=aB．b·cosB=cC．a·tanA=bD．c·tanB=bA中考链接ABC┌6.（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan∠DBE的值是．2中考链接解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵cosA=35，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=102-62=8，在Rt△BDE中，tan∠DBE=DEBE=84=2.20.求下图四边形土地的面积5.5)13(2x7.（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：)732.13,414.12D中考链接xx4430tanxx8.如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB=1.8m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01m)解：因为tan80°＝所以AC＝≈＝0.317≈0.32(m).所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.ACAB080tanAB671.58.14.（2014•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A.3313B.2511C.239D.5－2AE中考链接O2472tan23tancossin23cossinsincos2cos3sina5126