正弦定理(公开课)

5.9.1正弦定理资中一中黄勇问题:两个工程人员在野外作业,在一条不知道宽度的湍急的大河边休息.工程人员甲说:河对岸有棵椰子树.如果你能用测角仪和卷尺测出那棵椰子树到我们这里的距离,回家以后我请你喝冰镇椰子汁.乙说,那太好了,我喝定了.分析:如图假设对岸的椰子树是C点.直线AB就是河岸的两点.我们现在的位置是A点.沿这条河从A点走30米到B点.测得∠A=300,∠B=450,现在可以算出AC的长了.已知在△ABC中，∠A=30º，∠B=45º，AB=30米求AC的长？思考:如果你是乙你能喝到冰镇椰子汁吗?你该怎么测?夹角的范围是：0≤≤180判断向量夹角时两向量必须移至同一起点1、向量的数量积(1)、向量的夹角：||||cosabab(2)、向量的数量积：(3)、数量积的运算律：abba1cbcacba)(2BACABCcba222cba90BA(2)、边的关系：(3)、边角关系：2、直角三角形中的边角关系:(1)、角的关系：cBbAasinsincaAsincbBsin1sinCAacsinBbcsin.sinCccCcBbAasinsinsin在等边三角形中,这个等式成立吗?60sin160sin160sin1即CcBbAasinsinsinABCC=1a=1b=1606060在等腰三角形中,这个等式成立吗?3aABCC=1b=13012030120sin330sin130sin1此等式能推广到任意的锐角三角形、钝角三角形吗?即CcBbAasinsinsin怎么证明呢？作锐角三角形ABC的外接圆,O为圆心.设圆O的半径为R.OCABabcD连接CO并延长，与圆交于点D,再连接BD..DA则所以，a=CD·sinD=2R·sinA.证法一几何法.2sin,2sinRCcRBb同理，.2sinsinsinRCcBbAaRAa2sin同理可证在钝角三角形中上式也成立1、当ABC为锐角三角形时，如图则的夹角为________,的夹角为________,的夹角为________.j与ACj与ABj与CB90O090A-090C-ACBabc)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj　　AcCasinsin　)90cos()90cos(AcCa即ABCBAC:则可得由向量加法的三角形法ABjCBACj)(即ABjCBjACjCcAasinsin即过A作单位向量垂直,jAC与j证法二:向量法CcBbsinsinCcBbAasinsinsin钝角三角形中又应如何证明呢?CB如果我们过C作单位向量j垂直于又能得到什么结果呢?jABCACB则的夹角为________,的夹角为________,的夹角为________,j与ACj与ABj与CB90O90AC9090A2、当ABC为钝角三角形时不妨设，如图CcBbAasinsinsin同样可证得此式对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.　过A作单位向量垂直,jAC与j公式变形:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1CBAcbasin:sin:sin::3在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即RCcBbAa2sinsinsin2ARasin2BRbsin2CRcsin2（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角（4）作用:（2）已知两边和其中一边的对角求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。例1在中，已知求b.ABC30,45,10CAc解：∵且CcBbsinsin105)(180CAB30sin105sin10sinsinCBcb　【分析】此题属于“已知两角和其中一边，求其它两边和一角”的问题，先通过三角形内角和为180°求出角B，再利用正弦定理可求出边。6525如果要求保留两个有效数字即为例11、已知△ABC三边a、b、c所对角分别是A、B、C且ΔABC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定2、在ΔABC中,已知，则角Ｃ=3、在△ABC中，已知求c,b反馈练习：______________2,45,3000aCACBA222sinsinsin2sinbcBc0015030或31,2bc1、正弦定理的内容:2、正弦定理的证明方法:(1)几何法(2)向量法课堂练习：P144、第1题RCcBbAa2sinsinsin作业1、P144习题5.912、思考:．（1）若acosA＝bcosB判断△ABC的形状.（2）用等积法证明正弦定理.（3）用正弦定理证明三角形面积公式.