数学文化欣赏剖析

数学是什么？●“在进入大学前的十载岁月里，我未接触到应试数学的半点光彩。我们始终向着高考这个终点在一程程地接力跑，手中的接力棒是学校里所学的基础数学知识。当我们抵达终点时，尽情享受胜利的喜悦，而那比赛中象征传递延续的接力棒则早已被人遗忘。这就是我所学的数学，为分数而做、为功利而学。”（英语系）●“随着年龄的增长，学习的深入，在我对数学的兴趣中渐渐渗入了一种叫做‘恐惧与无助’的滋味。数学题目的解出与否不再是无关紧要的事情，它关乎一场考试的成败，甚至是人生的成败。于是，我感到了压力，在经过了无数场机械化的操练、在经历无数场考试、在做遍千万份试卷后，数学对我而言，终于成为了一项任务，还有一些厌恶。”（日语系）王蒙回想童年时代花的时间一大部分用在做数学题上，这些数学知识此后直接用到的很少，但是数学的学习对于我的思维的训练却是及其有益的。时隔半个多世纪了，有时看到上中学的孙子有数学题做不上来，我仍然喜欢拿到一边去做，与我上数学课的时间已经相隔半个多世纪了，多数情况下我仍能做出来，并从中得到极大的快乐。▲如果你想当经济学家，药学家，化学家，数学是统计分析工具▲你想当物理学家，数学是微积分▲你想当计算机专家，数学是算法语言▲你想当建筑学家，数学是几何三视图▲你想当数学家，数学就是你的世界▲如果你不幸什么都当不了，小心数学就是你的克星!数学学什么？古希腊：----------------“万物皆数”毕达哥拉斯学派一，他把【证明】这个概念引入了数学。证明现在普遍被看做是数学最基本的精神，我们甚至很难想像先于数学推理的阶段是什么。二，他意识到了无理数的存在。当然，他不知道“无理数”这个称呼，他也无可抑制的对这个他无法控制的数感到恼火---自然他也就避开了它。伟大的毕达哥拉斯毕达哥拉斯：古希腊数学家，公元前580至公元前497，青年的他游历许多地方，并到埃及印度留学。他深入民间收集点点滴滴的数学知识，最后学有所成并形成一个学派，史称毕达哥拉斯学派，对数学，天文学有巨大贡献。毕达哥拉斯学派认为任何数都可以表达成二个整数的商，即任意数都是可以度量的。万物皆数他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数目，因而任意两条线段长度之比就是它们各自原子数之比。由此观点出发，毕氏研究了音乐美术天文地理。应用在数学上，从埃及的黄金三角形（各边之比为3：4：5）发现5：12：13，8：15：17，这就是中国说的“勾股定理”它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整数比毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直角边都取1，则斜边就不可度量，与毕氏理论产生矛盾毕氏也发现不可通约量的存在学派进入两难境地，学派内部所有成员立誓保密，因而无理数有个外号“不可说”（Alogon)希帕索斯说了，学派就此开始瓦解。学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进爱琴海喂鱼。希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。大约公元前５世纪，不可通约量的发现－－－－毕达哥拉斯悖论当然真理是毕达哥拉斯无法扔到爱琴海喂鱼的，之后100年，柏拉图的学生用公理化的办法处理了这个问题。但是不知道是因为数学家也害怕被扔到爱琴海喂鱼呢，还是因为失去了对整数的信仰，整个希腊数学自此开始转向了研究几何图形的问题，毕竟几何图形避免了数打交道，从而有了欧氏几何。第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学微积分产生的背景从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就在寻求一种计算不规则图形面积的方法众多科学家意识到其中有个“幽灵”说不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝诺，欧道克斯，庄子，刘徽许多迫切待解决的问题摆在数学家面前：描述变速运动？曲线的切线？曲线的长度？曲面的面积？曲面围成的多面体的体积？极大极小问题？等等古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。无穷小分割是主要方法无穷小分割求和：关于切线：笛卡儿与费尔玛认为是两个交点重合时的割线。罗伯瓦等认为是描绘曲线的运动在这点的方向众多数学家加入到这场争论中，拉开流数术和微分法的序幕费尔玛是除去牛顿莱布尼兹外做得最多的人，他走到大门口，但没有进入。主要是他没有它的理论与求积的关系牛顿与莱布尼兹各自独立发明微积分牛顿与微积分莱布尼兹与微积分英德之间的历史公案1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。首次发表有关于微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有关于微积分的教科书出版。于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会禁止凯尔的诽谤。王家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿是王家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。问题是，莱布尼茨是否独立地发现了微积分？莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现？无穷小是零吗？第二次数学危机研究下列问题：1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了贝克莱悖论。引发第二次数学危机。少？趋于无限大时，它是多当nn1dx为逝去量的“灵魂”他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。“幽灵”即为极限的概念这里牛顿做了违反矛盾律的手续：先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？“幽灵”即为极限的概念由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础：极限理论危机的实质第一次数学危机的实质是“不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。22第三次数学危机“数学基础”的曙光——集合论到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了（康托）。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。罗素悖论：“设B={集合A|}，问B属于不属于B？”AA危机的消除危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。悖论欣赏：1.说谎者悖论：“我说这句话时正在说谎”2.柏拉图：“苏格拉底老师下面说的话是假话”苏格拉底：“柏拉图上面说的话是真话”3.语言悖论：“N是须用超过25个自然字才能定义的最小正整数。”28近现代数学时期近现代数学时期从19世纪20年代至今数学发展极为昌盛快速，成为一棵根繁叶茂的参天大树，深入到人类生活的各个领域。从内容上看，它研究了最一般的数量关系和空间形式，建立了抽象代数、拓扑学、泛函分析、集合论、数理逻辑、概率统计、图论、运筹学、模糊数学等等学科，它们成为现在大学数学专业的主要课程或成为计算机科学的基础数学知识。迎来三件惊天动地的大事：18世纪与19世纪之交，人们认为数学已经完备，没有发展的余地了数学宁静了一段时间，终于迎来了暴风骤雨由俄国数学家罗巴契夫斯基提出了与传统的欧几里得几何不同的几何理论，（它否定了欧氏几何的平行公理）引发了一场数学革命，被称为数学狂飙经过近百年的发展，数学和人类迎来三件惊天动地的大事爱因斯坦、电子计算机、空间技术：源于爱因斯坦的数学推导E=C2M(C为光速，M为物质的质量，E为能量)而掌握的原子能源于数学和电子学的电子计算机源于数学与天文、工业的空间技术，将人类带入一个全新时代源于数学的边缘学科纷纷诞生，从数学中分出的计算机科学成为二十世纪末二十一世纪最活跃、