《函数的单调性与导数》ppt课件5

3.3.1函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth()9.86.5vttaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy题1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf单调递增区间为(-,+)单调递增区间为(1,+);单调递减区间为(-,1);题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf单调递增区间为(-1+172,+);(-,-1-172);单调递减区间为(-1-172,-1+172)题3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论练习1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:2(1)()24;(2)();xfxxxfxex332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx课本P93:练习1(1)f(x)=x2-2x+4f/(x)=2x-2.当f/(x)0,即X1,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0f(x)的单调递增区间[1,+)单调递减区间(-,1];)()2(;42)()1(2xexfxxxfx2(1)()24;(2)();xfxxxfxex1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:课本P93:练习1(2)f(x)=ex-xf/(x)=ex-1.当f/(x)0,即X0,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X0,函数f(x)单调递减又f/(0)=0f(x)的单调递增区间[0,+)单调递减区间(-,0]1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:2(1)()24;(2)();xfxxxfxex课本P93:练习1(3)f(x)=3x-x3f/(x)=3-3x2.当f/(x)0,即-1x1,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X-1或X1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0,f/(-1)=0,f(x)的单调递增区间[-1,1]单调递减区间(-,-1];[1,+)1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx课本P93:练习1(4)f(x)=x3-x2-xf/(x)=3x2-2x-1.当f/(x)0,即x1或x-13,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即-13x1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0,f/(-13)=0,f(x)的单调递增区间[1,+);(-,-13]单调递减区间[-13,1]332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf108642-2-4-6-8-10-55101520课本P93:练习2:baC练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab课本P93:练习4:证明:因为f(x)=2x3-6x2+7f/(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数一、求参数的取值范围325例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围ax-xx-13a例:若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上单调递增求a的取值范围{{解:由題意f/(x)=3ax2-2x+10在(-,+)恒成立当a=0时,-2x+10x12不是恒成立(舍去)当a0时,必须有a0=(-2)2-4(3a)10a0a13a13又a=13时,f/(x)=x2-2x+1=(x-1)2此时x1时,f/(x)0,而f/(1)=0f(x)单调递增区间也是(-,+)a13解:由題意f/(x)=3ax2-2x+10在(-,+)恒成立当a=0时,-2x+10x12不是恒成立(舍去)当a0时,必须有a0=(-2)2-4(3a)10a0a13a13a13例:若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上单调递增求a的取值范围2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322()f'xax增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1〉a-2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0)f'x()0(或0)f'x2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。3[)2,320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。解:f/(x)=2a-3x2,因为f(X)在(0,1]上是增函数,f/(x)=2a-3x20在(0,1]上恒成立即a3x22在(0,1]上恒成立,设g(x)=3x22因为g(x)在(0,1]上是增函数g(x)max=32,a32,又a=32时,f/(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)在(0,1)上,f/(x)0,而f/(1)=0f(x)在(0,1]上是增函数综上:a32320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。解:f/(x)=2a-3x2,因为f(X)在(0,1]上是增函数,f/(x)=2a-3x20在(0,1]上恒成立即a3x22在(0,1]上恒成立,设g(x)=3x22因为g(x)在(0,1]上是增函数g(x)max=32,a32作业:课本P93:练习1,2(写在书上)课本选修1-1,习题3.3P98:A1,A2,A3.(写