2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第18讲 等差数列

等差数列的基本量运算【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求S28.(1)设数列{an}的公差为d，由前n项和公式有12a1＋6×11d＝8420a1＋10×19d＝460⇒d＝4a1＝－15，所以an＝4n－19.(2)S28＝28×a1＋14×27d＝1092.等差数列的有关问题都可转化为基本量的运算来解决是通性通法，在5个量a1，d，n，Sn，an中是“知三求二”．【变式练习1】已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.11112211111(2)(6)1635081216488.228(1)(9)8(1)(9)nnnadadadadadadadadaaddSnnnnnSnnnnn设数列的公差为，则，即，解得或因此，＝－＋－＝－【或＝－－＝－】－解析．等差数列的判定与证明11122(2)11{22nnnnnnnanSaaSSnSa－已知数列的前项和为，且满足＝，＝－．数列是否为等差数【例】列，请证明你的结论；求的通项公式．111111112(2)112(2)111{}221111(1)22(1)2,.2122.2(1)1(1)121.12(22)2(1)nnnnnnnnnnnnnnaSSSSnnSSSSandnnSSSnnaSSnnnnaannn－－－因为＝－＝－，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．由知，所以＝所以，当时，有＝－＝－当＝时【解析，＝所以＝】.判断一个数列是等差数列的方法有定义法、等差中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断．证明一个数列是等差数列的方法有定义法和等差中项法．【变式练习2】已知函数f(x)＝x3x＋1，数列an满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)(1)设数列bn＝1an，求证bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式．【解析】(1)依题意有an＋1＝an3an＋1，所以1an＋1＝1an＋3，故bn＋1－bn＝3，所以数列bn是以b1＝1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可知bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2(n∈N*)等差数列的通项公式及性质的综合应用【例3】数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.21411*120.(41)2.(1)210()210045.21805060.2nnnnnnnnnnaaaadaaddaaandnnannannanaN＋＋因为－＋＝，所以数列是等差数列，设其公差为由＝＋－，得＝－所以数列的通项公式为＝＋－＝－＋．由，得所以，当时，】；当时，【解析1212212123456712345122225962()()140[8(2)]2940.9*,5.940*6nnnnnnnnnSaaaaaannnSaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnSnnnnNN当时，＝＋＋＋＝＋＋＋＝－＋；当时，＝＋＋＋＝＋＋＋＋－－－－＝＋＋＋＋－＋＋＋＝－＋－＝－＋　所以＝本题考查求等差数列的通项公式及其前n项的绝对值的和．若数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，则它是等差数列．等差数列{an}中，求Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，分两种情形：11212121121212001()2()()(1)001()()2()()1)2(1nnmnnnmnadmSaaanmaaaaaanmadmSaaanmaaaaaanm已知，，当数列从第＋项开始为负数时，＝已知，，当数列从第＋项开始为正数时，＝【变式练习3】已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝12n－n2.求下列两式的值：(1)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(2)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.211*1221**121121112(12)12(1)(1)132.1132111132.131320.216070.nnnnnnnnSnnnaSnnaSSnnnnnnaanannnnannaNNN－因为＝－，所以，当＝时，＝＝－＝；当，时，＝－＝－－－＋－＝－又当＝时，－＝＝，所以＝－由＝－，得所以，当，时，；当，时，【解析】(1)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋a9＋a10)＝2S6－S10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52.(2)当1≤n≤6，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝12n－n2；当n≥7，n∈N*时|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝2S6－Sn＝2(12×6－62)－(12n－n2)＝n2－12n＋72.用函数方法求等差数列的最值问题421124.14522nnnnnndanSaSSbadab已知公差为的等差数列的前项和为，＝＋，＝求公差的值；若＝－，求数列中的最大项和最【例】小项的值．42111144124422(2)41.5127(11)21111..722nnnnSSadaddadaaandnban因为＝＋，所以＋＝＋＋，所以＝因为＝－，＝，所以数列的通项公式为＝＋－＝－，所以＝＋＝＋【解析】431771()(,)72221,3[4)31.nnfxxbbbb又函数＝＋在－，和＋上都是单调递减函数，所以数列在和，＋上都是递减数列，所以数列中的最大项是＝，最小项是＝－本题考查的内容有两方面：一是等差数列及其前n项和公式的运用；二是求数列中项的最值．本题解法采用的是以函数单调性的方法判断数列的单调性进而求得数列中项的最大、最小值．一般地，如果函数y＝f(x)在某一区间是减函数，则数列在由此区间内所有的正整数组成的集合上是递减数列．【变式练习4】已知等差数列{an}中，a3＝3，S3＝－3.(1)试求数列{an}的通项公式an；(2)在直角坐标系中，画出an＝f(n)的图象；(3)当n等于多少时，该数列的前n项和Sn取得最小值？并求最小值；(4)求证：S6，S12－S6，S18－S12成等差数列．31131*1233.235.3334(1)49()49()49059.1141904426.23nnnnnnadaadaSaddaandnnafnyxannannnnSSSaN设等差数列的公差为由，得所以＝＋－＝－．＝的图象是直线＝－上一列孤立的点图略．由，得而是正整数，所以当＝时，该数列的前项和取得最小值，最【解析】小值为＝－＝－6112118112618121266181261261812656306030212111260264204218171890612522217431824()()SadSadSadSSSSSSSSSSSSSS证明：因为＝＋＝－＋＝，＝＋＝－＋＝，＝＋＝－＋＝，所以－＝，－＝，即－＝＋－，所以，－，－成等差数列．1.已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝_________127433242()121.2aaadaddd由－＝＋－＋＝＝－，得】＝－【解析2.等差数列{an}前n项的和为Sn，若S19＝95，则a3＋a17＝__________10119191193171191995210.10.aaSaaaaaa由＝＝，得＋＝【所以＋＝＋＝解析】11*113.35nnnnaaaanaN已知数列中，＝，－＝，，则通项＝______________31514n1{1531115145(1)333.1514nnnannaan由题意可知数列是等差数列，且首项是，公差是，所以＝＋－＝，所以＝【解析】4.已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列(n为正偶数)．又f(1)＝n2，f(－1)＝n，求数列{an}的通项公式an.212211112341214311*1222(1)2.*(1)()()()2*1221(2)nnnnnnnnfaaannaanaanandnfaaaaaanaaaaaanndndaannkkN－－因为＝＋＋＋＝，依题意得＝，所以＋＝，即＋－＝又－＝－＋－＋＋－＋＝，即－＋－＋＋【－＝，所以＝，则＝，代入得解析】＝，所以＝－＝，．115.2(2).911{2.nnnnnnnnanSaSSnaSaa－　已知数列的前项和为，且＝，＝求证：是等差数列；求数列的通项公式11111111(2)111.1119{211nnnnnnnnnnnnnaSSnaSSSSSSSSSSa－＋＋＋＋证明：因为＝，所以＝，即－＝，所以－＝－故数列是首项为＝＝，【解析公差为－的】等差数列．11119111(1)22221121324(2)112132292(1)94(2,*)1122132nnnnnnnnnSSSnnaSSnnnanannnnN－－由知＝－－＝－，所以＝，＝，所以＝－＝．而＝不适合上式，所以＝本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想．考题一般从三个方面进行考查：一是应用等差数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公差，进而求得等差数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等差数列问题间接地求得等差数列的通项公式；三是证明一个数列是等差数列.1．等差数列常用的两个性质：(1)等差数列{an}中，对任意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)等差数列{an}的通项公式可以写成an＝am＋(n－m)·d(n，m∈N*)．2．已知三个数成等差数列，往往设此三数为a－d，a，a＋d可以方便地解决问题．3．证明一个数列{an}是等差数列有两种方法：(1)用定义证明：即求得an＋1－an是一个与n无关的常数．(2)利用等差中项：即证明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．4．注意几个说法：(1)“an＝pn＋q(n∈N*，p，q∈R)”是“{an}为等差数列”的充要条件；(2)“Sn＝An2＋Bn(n∈N*，A，B∈R)”是“{an}为等差数列”的充要条件；(3)“数列{an}的通项公式是一次函数”是“{an}为等差数列”的充分不必要条件；(4)“数列{an}的前n项和是二次函数”是“{an}为等差数列”的既不充分又不必要条件．