九年级数学期末复习-压轴题

第1页九年级数学期末复习-压轴题1．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．第2页2．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第3页3．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．第4页4．如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．第5页5．如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点的坐标；（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．第6页九年级数学期末复习-压轴题参考答案与试题解析1．（2015•乳山市一模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣x+2=2；令y=0，则0=﹣x+2，解得x=4，所以B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B的坐标代入得，，解得．∴该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；（3）如图2，过C点作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）第7页∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）=﹣a2+4a+=﹣（a﹣2）2+，（0≤a≤4），∴a=2时，S四边形CDBF的最大值为；∴E（2，1）；（4）存在，如图3，∵抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴x=﹣==，∴OD=，∵C（0，2），∴OC=2，在RT△OCD中，由勾股定理得CD=，∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD，如图所示，作CE⊥对称轴于E，∴EP1=ED=2，∴DP1=4，∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．第8页2．（2015•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【解答】解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，第9页将点A、B、C的坐标代入解析式得，，解得：，即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；（3）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．如图1所示，作CE⊥对称轴于E，∴EP1=ED=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（4）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．∵直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．第10页∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．3．（2009•十堰）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．第11页（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴解得：∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x==﹣1，∴设P点坐标为（﹣1，a），当x=0时，y=3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当CP=PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a=，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；∴当CM=PM时，（﹣1）2+32=a2，解得a=±，∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴当CM=CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；第12页（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）==﹣+∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（﹣，）．4．（2016秋•富顺县月考）如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；第13页（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．【解答】解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入y=ax2+bx+6得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+6．（2）如图1中，由题意C（0，6），M（﹣2，0），∴CM==2，①当P1C=CM时，可得P1（﹣2，12），②当MP2=MC时，P2（﹣2，2），③当MP3=MC时，P3（﹣2．﹣2）．综上所述满足条件的点P坐标（﹣2，12）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．（3）如图2中，连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．第14页∵B（﹣6，0），C（0，6），∴直线BC的解析式为y=x+6，∴点Q（﹣2，4）．（4）如图3中，设E（m，﹣m2﹣2m+6）．连接EO．∵S四边形BOCE=S△BOE+S△COE=×6×（﹣m2﹣2m+6）+×6×（﹣m）=﹣（m+3）2+，∵a=﹣＜0，∴m=﹣3时，四边形BOCE的面积最大，最大值为，此时点E（﹣3，）．5．（2014秋•江津区期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点的坐标；（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．第15页【解答】解：（1）由题知：，解得：，故所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6；（2）∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6，∴对称轴为x==﹣2，设P点坐标为（﹣2，t），∵当x=0时，y=6，∴C（0，6），M（﹣2，0），∴CM2=（﹣2﹣0）2+（0﹣6）2=40．①当CP=PM时，（﹣2）2+（t﹣6）2=t2，解得t=，∴P点坐标为：P1（﹣2，）；②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，∴P点坐标为：P2（﹣2，2）或P3（﹣2，﹣2）；③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（﹣2）2+（t﹣6）2，解得t=12，∴P点坐标为：P4（﹣2，12）．综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣2，）或P（﹣2，2）或P（﹣2，﹣2）或P（﹣2，12）；（3）∵点A（2，0）和点B（﹣6，0）关于抛物线的对称轴x=﹣2对称，∴QB=QA，∴|QB﹣QC|=|QA﹣QC|，要使|QB﹣QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=﹣2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=﹣2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，∵A（2，0），C（0，6），第16页∴，解得，∴y=﹣3x+6，当x=﹣2时，y=﹣3×（﹣2）+6=12，故当Q在（﹣2，12）的位置时，|QB﹣QC|最大；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，﹣n2﹣2n+6）（﹣6＜n＜0），则EF=﹣n2﹣2n+6，BF=n+6，OF=﹣n，S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=（n+6）•（﹣n2﹣2n+6）+