24.2.2直线与圆的位置关系(2)解析

24.2.2直线和圆的位置关系（2）切线的判定定理和性质定理下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？思考rOlA如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线,则圆心O到直线的距离是多少？直线和⊙O有什么位置关系？OAlll经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。条件：(1)经过半径的外端切线判定定理：(2)垂直于这条半径●O┐Al∵l经过半径OA的外端点Al⊥OA∴直线l是⊙O的切线符号语言表达结论：直线是圆的切线(1)经过半径的外端(2)垂直于这条半径经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。切线判定定理：条件：结论：直线是圆的切线判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线(3)经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线(d=r)归纳切线的三种判定方法：例1直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线OCBA已知直线经过圆上一点,“连半径，证垂直”COCAB的外端点经过半径又练习1、AB是⊙O的直径,∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？BACO解：AC是⊙O的切线∵AB=AC∴∠C=∠B=450∴∠A=900即AC⊥AB又∵AC经过半径OA的外端点A∴AC是⊙O的切线变式练习练习2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？AOBCD解：BD是⊙O的切线连接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=300∴∠BOD=600∴∠ODB=900即：OD⊥DB又∵BD经过半径OD的外端点∴BD是⊙O的切线变式练习例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BACOD⊥AB,OE⊥AC∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴OE是⊙O的半径即AC经过半径OE的外端点E又∵OE⊥AC∴AC是⊙O的切线。不知直线与圆是否有公共点“作垂直,证半径”小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED.OAL一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径简记为：“知切线，连半径，得垂直”思考如图，如果直线是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线是不是一定垂直呢?llOAlAOl是切点的切线是圆例1如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.E如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，C是切点∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO∴∠CAD＝∠CAO,故AC平分∠DAB．变式练习2、如图：AC是⊙O的切线，∠B=600。求∠CAD的度数。BACODAOCB3、如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。变式练习课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.证明直线是圆的切线的方法⑴如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。（连半径，证垂直）⑵如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足①过圆心②过切点③垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.总结:切线的主要性质