二次函数动点问题教师用

EDCBAMP动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。一、选择题：1.如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）94xyOPDCBAA、10B、16C、18D、20二、解答题：一、例题:如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.求S关于t的函数关系式；解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=3.∴SΔAPE=23第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.P点从A→B→C一共用了12秒，走了12cm，Q点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是0≤t≤10不变量：P、Q点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2若速度有变化，总路程=变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）.如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，QF=t23，AP=t+2，AG=1+2t，PG=t233.∴此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG+QF）×AG÷2S=2323t.当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，DF=4-2t（总量减部分量），QF=t23，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC-AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=3)10(t，而BD=34，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=3343108352tt.当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ=AC-AQ=12-（2t-8）=20-2t，（难点）QF=(20-2t)3，CP=10-t，PG=3)10(t.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=31503302332tt.练习1．（2008年白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边．．分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．(1)点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；(2)当t=秒或秒时，MN=21AC；(3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的61；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．3.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；4、在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.（第5题）（图①）（图②）（图③）（1）s与t之间的函数关系式是：；（2）与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.练习题答案1、解：(1)（4，0），（0，3）；2分(2)2，6；············································································4分(3)当0＜t≤4时，OM=t．由△OMN∽△OAC，得OCONOAOM，∴ON=t43，S=283t．·······················6分当4＜t＜8时，如图，∵OD=t，∴AD=t-4．方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM=)4(43t，∴BM=6-t43．············7分由△BMN∽△BAC，可得BN=BM34=8-t，∴CN=t-4．················8分S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积=12-)4(23t-21（8-t）（6-t43）-)4(23t=tt3832．··································································10分方法二：易知四边形ADNC是平行四边形，∴CN=AD=t-4，BN=8-t．··············7分由△BMN∽△BAC，可得BM=BN43=6-t43，∴AM=)4(43t．···8分以下同方法一．2.（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB∠DAQ=∠BAQAQ=AQ·P∴△ADQ≌△ABQ······························2分(2)解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的61时，过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，则QE=QF21QEAD=ABCD正方形S61=38∴QE=34·············································································4分由△DEQ∽△DAP得DADEAPQE解得2AP∴2AP时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的61················6分解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．21QEAD=ABCD正方形S61=38∴QE=34∵点Q在正方形对角线AC上∴Q点的坐标为44()33，∴过点D（0，4），Q()34,34两点的函数关系式为：42xy当0y时，2x∴P点的坐标为（2，0）∴2AP时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的61．················6分（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA此时△ADQ是等腰三角形②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形···············8分③解法一：如图，设点P在BC边上运动到xCP42-4时，有AD=AQ∵AD∥BC∴∠ADQ=∠CPQ又∵∠AQD=∠CQP∠ADQ=∠AQD3.解：（1）BPQ△是等边三角形．当2t时．212224APBQ，．624BPABAP．BQBP．又60B，BPQ△是等边三角形．（2）过Q作QEAB，垂足为E．由2QBt，得2sin603QEtt．由APt，得6PBt．2113(6)333222BPQSBPQEtttt△．4．(1)S=t21(t≥0)······································································（2分）(2)M→D→A→N，···································································（4分）10··························································································（5分）(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；···································（6分）当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1；··········································（7分）当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．········································（8分）补全图象略．··········································································（10分）