二次函数各知识点、考点、典型例题及练习

-1-二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习（超全）【典型例题】题型1二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A．（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。○6若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。○7若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。○8若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。○9若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。○10若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。○11若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。题型2二次函数的性质例3若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不确定点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值再把横坐标值代入求出y1与y2的-2-值，进而比较它们的大小【举一反三】变式1：已知12(2,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式2：已知12(0,),(3,)qq二次函数22yxxm上两点，试比较12qq与的大小变式3：已知二次函数2yaxbxm的图像与22yxxm的图像关于y轴对称，12(2,),(3,)qq是前者图像上的两点，试比较12qq与的大小题型3二次函数的图像例4如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图像时（）题型4二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例5、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）点拨：本题考查函数图象与性质，当0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．例6已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（）A．B．C．D．1111xoyyoxyoxxoyADBC10100A10100B10100510010CD-3-A．2B3C、4D、5点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a－2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现题型5二次函数的平移例7.将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)yxB．22(1)yxC．221yxD．221yx题型6二次函数应用销售利润类问题例8某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售量为y件。⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。⑵如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价)本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。题型7二次函数与几何图形综合(面积、动点)例9已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C，，直线xm（2m）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、、为顶点的三角形与以AOC、、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．图2点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到yxO-4-图形运动过程中的特殊位置。【基础达标训练】一、选择题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）2.（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2yx的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．233.(2009年上海市)抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A．()mn，B．()mn，C．()mn，D．()mn，4.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数cbxaxy2的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴【】x…－1012…y…－147－247…A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧5.已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，则下列结论：0ac①；②方程20axbxc的两根之和大于0；y③随x的增大而增大；④0abc，其中正确的个数（）A．4个B．3个C2个D．1个6.二次函数cbxaxy2的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．21yyB．21yyC．21yyD．不能确定7.（2009烟台市）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数xyO1yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．11Oxy-5-24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）8.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。9.(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)yaxxa的对称轴是直线（）A．1xB．1xC．3xD．3x10.（2009年遂宁）把二次函数3412xxy用配方法化成khxay2的形式A.22412xyB.42412xyC.42412xyD.321212xy二、填空题11.（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_____________12.(2009年上海市)把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x+5，则a+b+c=__________13.（2009年淄博市）请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式．①过点(31)，；②当0x时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．14.（2009年娄底）如图7，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是.图6（1）图6（2）-6-15.（2009白银市）抛物线2yxbxc的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）16.（2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．17.（2009年黄石市）若抛物线23yaxbx与232yxx的两交点关于原点对称，则ab、分别为．18、（2009年兰州）二次函数223yx的图象如图12所示，点0A位于坐标原点，点1A，2A，3A，…，2008A在y轴的正半轴上，点1B，2B，3B，…，2008B在二次函数223yx位于第一象限的图象上，若△011ABA,△122ABA，△233ABA，…，△200720082008ABA都为等边三角形，则△200720082008ABA的边长＝.三、解答题19.（2009年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且65x时，55y；75x时，45y．（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．-7-20.(安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是什么？(3)第几分时，学生的接受能力最强？21.（2009仙桃）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若S△APO＝23，求矩形ABCD的面积22.抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.【能力提高训练】23．如图，在