3.1.1-3.1.2变化率问题(H)

变化率问题与导数的概念问题1.平均速度.物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12求１s到２s时的平均速度．解：S2－S1==14.73g2t2－t1=1V=S(2)-S(1)=14.72-1问题1.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度．V=2121S(t)-S(t)t-t平均变化率如果上述的函数关系用y=f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值y就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率：2121f(x)-f(x)x-xyx问题2：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？（我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）问题2：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？解：取一小段时间：［3,3+△t]△Ｓ=21g(3+△t)2－12g(3)22gV=△Ｓ△t(6+△t)问题2：瞬时速度解：取一小段时间：［3,3+△t]△Ｓ=21g(3+△t)2－29g2gV=△Ｓ△t(6+△t)当△t0时，v3g=29.4（平均速度的极限为瞬时速度）瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度）即：lim△t0S(3+△t)－S(3)△t=29.4思考：在t0时刻的瞬时速度呢？lim△t0S(t0+△t)－S(t0)△t瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．记作：f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：(1)求增量Δy=f(x+Δx)-f(x);Δyf(x+Δx)-f(x)(2)算比值=;ΔxΔxΔx→0Δy(3)求极限y=lim.Δx例1.求y=x2在点x=1处的导数．解：222Δy=(1+Δx)-1=2Δx+(Δx)2Δy2Δx+(Δx)==2+ΔxΔxΔxΔx→0Δx→0'x=1Δy∴lim=lim(2+Δx)=2Δx∴y|=2知识拓展：注意：在导数的定义中，增量⊿x的形式是多种多样的，但无论⊿x选择哪种形式，⊿y也应该选择相应的形式。利用函数f(x)在点x0可导的条件，可以将已给定极限式恒等变形转化为导数定义的结果形式f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xf’(x0)=lim△x0f(x0+2△x)－f(x0)2△x增量在形式上必须保持一致mf(3+2m)-f(3)例2：已知f(3)＝1，求的值lim2m0mf(3－2m)-f(3)变式训练：已知f(3)＝1，求的值lim2m01-1000f(xh)-f(x-h)练习:设函数f(x)在点x处可导，求的值limh0h1+2/03f(x)2小结：１．平均速度瞬时速度；２．平均变化率瞬时变化率；３．导数f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x