正态分布概率公式(部分)

图6-2正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)=（6.16）式中：x—所研究的变数；f(x)—某一定值x出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线x值的纵轴高度；p—常数，等于3.14159……；e—常数，等于2.71828……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。上述公式表示随机变数x的分布叫作正态分布，记作N(μ,δ2)，读作“具平均数为μ，方差为δ2的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图6-2。（二）正态分布的特性1、正态分布曲线是以x=μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（6.16）所得的f(x)是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其f(x)就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。2、正态分布曲线有一个高峰。随机变数x的取值范围为（-∞，+∞），在（-∞，μ）正态曲线随x的增大而上升，；当x=μ时，f(x)最大；在（μ，+∞）曲线随x的增大而下降。3、正态曲线在︱x-μ︱=1δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x→±∞时，f(x)→0，但f(x)值恒不等于零，曲线是以x轴为渐进线，所以曲线全距从-∞到+∞。4、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在x轴上的位置[图6-3]，δ确定它的变异程度[图6-4]。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。5、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于1，正态分布与x轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于1。而变量x出现在任两个定值x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下：区间μ±1δ面积或概率=0.6826μ±2δ=0.9545μ±3δ=0.9973μ±1.960δ=0.9500μ±2.576δ=0.9900图6-3标准差相同（δ=1）而平均数图6-4平均数相同（μ=0）而标准差不同的三条正态曲线不同的三条正态曲线（三）正态分布的概率计算正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。对于任何正态分布随机变量x落入任意区间（a，b）的概率可以表示为：P(axb)。其概率的计算是求概率密度函数在该区间的定积分，又由于求定积分反应在几何图形上是曲线在该区间上与x轴所夹的面积，所以，在曲线下某区间的面积等价于某区间的概率。对于一般的正态曲线，其概率计算公式为：P（axb）=（6.17）如果将定积分的形式与结果用累积函数（或称分布函数）表示，那么，正态曲线下从-∞到x的面积，其式如下：F（x）=（6.18）F(x)称为正态分布的累积函数。现如给变数任一定值，假如x等于a，那么，随机变数xa的概率为P（xa）=F（a）=（6.19）根据以上的方法，如果a、b(ab)是x的两个定值，则区间（a，b）的概率可以从下式计算P(axb)=F(b)-F(a)=-（6.20）由正态曲线的特性可知，对于不同的μ和δ，曲线就有不同的形状和位置。在所有一系列曲线中，μ=0、δ=1的那条曲线是最简单的，我们把μ=0、δ=1对应的曲线称为标准的正态曲线，并用变数u代替x。曲线的方程为：Φ（u）=（6.21）Φ（u）称为标准正态分布的概率密度函数，随机变量u的分布称作标准的正态分布或u分布，记作为N(0，1)。同理，对于标准正态分布，其累积函数为F（u）=（6.22）其表示在标准正态曲线下从-∞到u之间的面积或概率。对于一个u值，例如等于a，标准正态分布的随机变量u落入到区间（-∞，a）的概率可以通过上式求得。为了计算的方便，统计学家已根据a值的大小绘制了标准正态分布的累积分布函数数值表（附表2），通过查表就可以获得（-∞，a）的概率。例6-9：设u服从标准正态分布N（0，1），试求（1）随机变量u落入（0，1.21）区间的概率；（2）随机变量u落入（-1.96，1.96）区间的概率；（3）随机变量u落入（-2.58，2.58）区间的概率。P（0u1.21）=F(1.21)-F(0)=0.8869-0.5000=0.3869P(-.96u1.96)=F(1.96)-F(-1.96)=0.9750-0.0250=0.9500P(-2.58u2.58)=F(2.58)-F(-2.58)=0.99506-0.00494=0.99012从上述计算结果可知：从u分布中随机抽取一个u值，它落入（-1.96，1.96）内的概率为95%，落到区间外的概率为5%，而落到区间（-2.58,2.58）外的概率更小，只有1%。这说明从u分布中随机抽取一个u值，它落入到（-1.96，1.96）之外的可能性很小，是一个小概率事件。对于具有平均数为μ、标准差为δ的一般正态分布，只要将它们转化为标准的正态分布（即正态分布标准化），再查表，就很容易获得随机变量x落入在某个区间内的概率。转换的方法很简单，首先将随机变量x标准化，（或者说将随机误差标准化），令：u=（6.23）即对x取其离均差值，再转换成以标准差为单位的量值u。此u值叫正态标准离差或简称正态离差。经过转换后，原遵从正态分布N(μ，δ2)的随机变量x落在（a，b）区间内的概率，就等于遵从标准正态分布N（0，1）的随机变量u落在(，)区间内的概率。即：P（axb）=F(b)-F(a)=从正态分布N(μ，δ2)到标准正态分布N（0，1），从几何意义上说仅是作了坐标轴的平移和尺度单位的变换。它带来的相应改变是：分布中心从μ处移至0处；尺度单位从x的单位变为标准差的单位（即在N(μ，δ2)中横轴上的一个标准差距离在N（0，1）中作为1），这些改变可简化处理步骤，而不改变正态分布的基本性质。因此，在求一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当的转换，亦同样查附表2即可求得概率。例6-10：假定x——随机变数具有正态分布，平均数μ=30，标准差δ=5，试计算P（x26），P(26x40)，P(x40)？P(x26)=F(26)=F((26-30)/5)=F(-0.8)=0.2119P(26x40)=F(40)-F(26)=)==F(2.0)-F(-0.8)=0.97725-0.2119=0.7654P(x40)=1-F(40)=1-=1-F(2.0)=1-0.97725=0.02275