贝叶斯定理

贝叶斯定理以及应用条件概率所谓条件概率，是指某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为若，则若，则BAP0BPBAPBPABP0A...AAP1n21n21n213121n1A....AAAP.....AAAPAAPAPA...AP全概率公式设…是样本空间Ω的一个分割，即…互不相容，且，如果则21B,BnB21B,BnBUn1iiBn1iiiBAPBPAPn,....,2,1i,0BPi贝叶斯定理(Bayes'rule)设…是样本空间Ω的一个分割，即…互不相容，且，如果则21B,BnB21B,BnBUn1iiBn,.....,2,1i,0BP,0APin,.....,2,1i,BAPBPBAPBPABPn1jjjiii贝叶斯定理的证明由条件概率的定义对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式即得APABPABPiiiiiBAPBPABPn1jjjBAPBPAPn,.....,2,1i,BAPBPBAPBPABPn1jjjiii贝叶斯定理的实例伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了，狼来了”，山下的村名闻声便去打狼，可到山上，发现狼没来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他。首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。不妨假设村民过去对这个小孩的印象为第一次村民山上打狼，发现狼没来，即小孩说了谎(A)，村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为这表明村民上了一次当之后，对这个小孩的可信程度由原来的0.8调整为0.444，在此基础上调整8.0BP2.0BP444.05.02.01.08.01.08.0BAPBPBAPBPBAPBPABP556.0BP444.0BP1.0BAP5.0BAP根据调整后的信息，我们再一次运用贝叶斯公式来计算亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度改变为这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138。ABP138.05.0556.01.0444.01.0444.0ABPGivingGifts有两个players，其中player1要送个player2一个生日礼物，player1有两个选择，GT(gametheory)和ST(startrek)，而player2更加偏好GT，但是player2在收到礼物之前并不知道player1要送给他什么。策略方式可以得出(GG,N)和(NN,N)均为一个纳什均衡UpdatedBelief在上面这个例子中，p为player2的initialbelief(期望收到的书为GT的概率)，q为player2的conditionalbelief(updatedbelief，即他已经收到GT的时候对这个礼物接受的概率)举例说明updatedbelief，假设player2预料到player1的策略是NG，那么player2就会updatedbelief并且做出接受礼物的决策，获得效用为1。当然如果player2预料player1的策略是GG，那么player2的updatedbelief和之前没有什么区别，因为他还是不确定player1到底要送什么，即player1’sbehavior是什么。Selten’sGame纳什均衡为（D,L）和（U，R）但是对于（U，R）这个均衡存在某些”问题“，如果到达player2的informationset，那么对于他来说肯定会选择L但是player2会有一个threat给player1，因为他希望player1直接选择U，不用进行到第二步，但是player1考虑到策略（D,L）会给自己带来更大的利益，所有(U,R)是不合理的，因为它依靠的是player2一个incrediblethreat。Selten’sGame的扩展假设，对于player1的expectedpayoff如果是从player2的informationset开始，player1的payoff5.0,5.0232,311同理，我们可得player2的payoff那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响到player2的决策，那么在什么情况下player1会选择U或者D呢？由上式可以看出如果，那么D是一个理性选择。如果，那么U是一理性选择。如果，那么D和U都是理性选择。32L32L32L改良后的GivingGiftsPlayer2’sexpectedpayoffFromY：Player2’sexpectedpayoffFromN：因此，player2会接受的概率：player2会拒绝的概率：1q2)1)(q1(1q0)0)(q1(0q21q,01q221q,01q2Thankyouforyourattention!By：马吉峰