2015年高考数学全国卷1(理)试卷解析版

FunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）一.选择题（本大题满分60分，共12小题，每小题5分）1.设复数z满足11ziz，则||z（）A.1B.2C.3D.2【解析】11||11iziizzizi【答案】A2.sin20cos10cos160sin10（）A.32B.32C.12D.12【解析】sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30【答案】D3.设命题P：nN，22nn，则P为（）A.nN，22nnB.nN，22nnC.nN，22nnD.nN，22nn【解析】考查命题的否定【答案】C4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】“至少投中2次”包括“投中2次”和“投中3次”两种情况；投中2次的概率为2230.60.4C，投中3次的概率为30.6，∴22330.60.40.60.648C【答案】A5.已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，1F、2F是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（）A.33(,)33B.33(,)66C.2222(,)33D.2323(,)33【解析】先计算120MFMF时的0y，根据焦点三角形面积公式20cot451Sbcy，∵3c，∴033y【答案】AFunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析】316823lrrr，∴2111163203()533439VSh（立方尺）【答案】B7.设D为△ABC所在平面内一点，3BCCD，则（）A.1433ADABACB.1433ADABACC.4133ADABACD.4133ADABAC【解析】1114()3333ADACCDACBCACACABABAC【答案】A8.函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A.13(,)44kk，kZB.13(2,2)44kk，kZC.13(,)44kk，kZD.13(2,2)44kk，kZ【解析】根据图像所示，511244T，∴2T，即选D【答案】D9.执行下面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）A.5B.6C.7D.8【解析】根据题意，1111111110.01248163264128128，有7次循环运算【答案】CFunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths10.25()xxy的展开式中，52xy的系数为（）A.10B.20C.30D.60【解析】2515()rrrrTCxxy，∴2r，∴22322332355()(1)TCxxyCxxy，即需要在3(1)x中求出2x的系数，显然为3，∴52xy的系数为25330C【答案】C11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r（）A.1B.2C.4D.8【解析】该几何体为一个半球加半个圆柱，∵正视图中有一条实横线，∴圆柱必是被轴截面截去一半；调整角度后，几何体如图所示，22451620Srr表，2r【答案】B12.设函数()(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是（）A.3[,1)2eB.33[,)24eC.33[,)24eD.3[,1)2e【解析】(0)10fa，∴(1)0fe，3(1)20fae，解得3[,1)2ae【答案】DFunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths二.填空题（本大题满分20分，共4小题，每题5分）13.若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则a；【解析】根据(1)(1)ff，可求出1a【答案】114.一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为；【解析】如图所示，设圆心为(,0)x，根据半径相等，2222(4)xx，解得1.5x，根据对称性，1.5x也符合，此时2.5r，所以圆的标准方程为222(1.5)2.5xy【答案】22325()24xy15.若x、y满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为；【解析】可行域如图所示，yx的几何意义是动点与原点的斜率的大小，结合图像可知，当1x，3y时，yx有最大值3【答案】316.在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是；【解析】如图所示，当点D与点A接近于重合时，AB最大，621cos754AB，此时解得62AB；当点D与点C接近于重合时，此时AB最小，根据62cos7544AB，解得62AB，∵平面四边形ABCD，∴都取不到等号，即(62,62)AB【答案】(62,62)FunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths三.解答题（本大题满分70分，第17题~第21题为必考题，第22题~第24题为选考题）17.（本小题满分12分）nS为数列{}na的前n项和，已知0na，2243nnnaaS（1）求{}na的通项公式；（2）设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和；【解析】（1）作差法，可得12nnaa，求出13a，∴21nan（2）裂项法，12111......3557(21)(23)nbbbnn1111111111(...)()235572123232369nnnnn18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，2BEDF，AEEC（1）证明：平面AEC平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值；【解析】（1）联结BD，交AC于点O联结OE、OF、EF易证AEEC，∴OEAC同理OFAC∴平面AEC与平面AFC所成角即EOF易证RtEBO∽RtODF，∴90EOF，即平面AEC平面AFC（或者以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，证0OEOF）（2）以O为坐标原点，射线OB为x轴，OC为y轴，OG为z轴，建立空间直角坐标系，设菱形ABCD边长为2，则点(0,3,0)A，(1,0,2)E，(0,3,0)C，2(1,0,)2F，∴(1,3,2)AE，2(1,3,)2CF，3cos319.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（1,2,...,8i）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值FunshineMaths峰行数学资料整理sh-mathsxyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，81iiww（1）根据散点图判断yabx和ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为0.2zyx，根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)nnuvuvuv，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()ˆ()niiiniiuuvvuu，ˆˆvu【解析】（1）结合图像形状可知ycdx更符合（2）根据所提示公式，81821()()108.8ˆ681.6()iiiiiwwyywwˆˆ563686.8100.6yw，即68100.6yx（3）①49x时，576.6y，0.20.2576.64966.32zyx②20.20.2(68100.6)()13.620.12zyxxxxx结合二次函数图象与性质可知6.8x时取到最大值，即46.24xFunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:lykxa(0)a交与M、N两点（1）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由；【解析】（1）24xa，∴(2,)Maa，(2,)Naa，2xya，∴M处切线方程yaxa，N处切线方程yaxa（2）假设存在，设(0,)Pp，∵OPMOPN，∴0PMPNkk即12120ypypxx，化简得1212()(4)0xxxxp联立方程，韦达定理124xxk，124xxa，代入上式，pa∴y轴上存在点(0,)Pa，使得当k变动时，总有OPMOPN21.（本小题满分12分）已知函数31()4fxxax，()lngxx；（1）当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（2）用min{,}mn表示m、n中的最小值，设函数()min{(),()}hxfxgx(0)x，讨论()hx零点的个数；【解析】（1）2()30fxxa，31()04fxxax，解得12x，34a（2）①当0a时，可知2()30fxxa，()0.25fx，结合图像可知()hx只有一个零点（()hx图像为红色实线部分）②当304a时，()fx在(0,)上的的最低点3()03af，结合图像可知()hx此时有一个零点(1,0)③当34a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af，结合图像可知()hx此时有两个零点FunshineMaths峰行数学资料整理sh-maths④当5344a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af且产生的两个零点在区间(0,1)上，结合图像可知()hx此时有三个零点⑤当54a时，()fx在(0,)上的最低点3()03af且产生的两个零点中有一个和(1,0)点重合，结合图像可知()hx此时有两个零点⑥当54a时，()fx在(