(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

精品文档精品文档内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：精品文档精品文档指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。成绩：中指导教师：精品文档精品文档内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrixisanimportantcontentinaltitude-mathematics,ithasagreattheoreticsignificanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormalcondition,thatistosay,normally,BAAB.Whereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrixcouldsatisfytheexchangerule.Theexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportanteffections.Thispaperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyoftheexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.Allofthesearediscussedfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformation.KeyWords：matrixinterchangeableconditionspropertyuppertriangularmatrix精品文档精品文档目录引言……………………………………………………………………………………………1一可交换矩阵及相关定义…………………………………………………………………1(一)矩阵………………………………………………………………………………………1(二)可交换矩阵………………………………………………………………………………3二可交换矩阵成立的条件与性质…………………………………………………………3(一)可交换矩阵成立的条件…………………………………………………………………3(二)相关结论…………………………………………………………………………………5(三)可交换矩阵的性质………………………………………………………………………7三几类常用的可交换矩阵…………………………………………………………………7四可交换矩阵的应用………………………………………………………………………8五总结………………………………………………………………………………………10参考文献……………………………………………………………………………………10致谢…………………………………………………………………………………………10精品文档精品文档可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由mn个数ijanjmi,,2,1,,,2,1排成的m行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaaA2122221112111称为m行n列矩阵，简称nm矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为ijaA或nmA．这里的ija表示位于A的第i行第j列的元素.nm称为矩阵的阶数.精品文档精品文档矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算1加减法设nmijnmijbBaA,为同型矩阵，则nmijijbaBA2这里若设B为B的负矩阵，即nmijbB，则可以定义减法运算nmijijbaBA32数与矩阵的乘积设RkaAnmij,为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且nmijkakA4即给A的每个元素均乘以数k.3矩阵的乘积设nijmijbBaA55,，则nmijcCAB5称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中njmibababacjijijiij,,2,1;,,2,1552211即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．4对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：1,0,njiAAjiij6则称A为对称矩阵.5反对称矩阵设A是一个n阶方阵，如果AAT7则称A为反对称矩阵.精品文档精品文档㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB有意义时，BA不一定有意义.2.AB与BA均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB与BA均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BAAB.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵BA,满足：BAAB8则称矩阵A和B是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BAAB成立，则称方阵A与B为可交换矩阵.设01111axaxaxaxfmmmm9系数maaa,,,10均为数域P中的交换数，A为P上的一个n阶方阵，记EaAaAaAaafmmmm0111容易看出：任何方阵A都与其伴随矩阵*A是可交换的，且二者的乘积为nAI;对于任何方阵A，IaAaAaxfpPP110与IbAbAbAgqqq110可交换.(一)可交换矩阵成立的条件定理1[1]设n阶方阵BA,满足条件ABBA.则BA,可交换.证明由条件ABBA,Ieediagn,1，变形可得)()(AIBIAABBIAI))((IBIA即IIBIA))((，所以IA为可逆矩阵，其逆矩阵为IB，有IIAIBIBIA))(())((即IABBAIBAAB，从而可得BAAB.定理2[3]设BA,均为对称矩阵，则BA,可交换的充要条件是AB为对称矩阵.证明设BA,均为对称矩阵，由于BAAB，故ABBAABABTTT所以AB是对称的.反之，由于ABABT，所以BAABABABTTT，因此，BA,可交换.精品文档精品文档推论设A为n阶对称矩阵，则TAA,都可交换.定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则BA,可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设AAT，BBT,由于BAAB,所以ABBAABABTTT10所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵,则11从而BAAB.定理4[3]设BA,均为反对称矩阵，则BA,可交换的充要条件是AB为对称矩阵．证明因BA,均为反对称矩阵，故有AAT，BBT，又因为BA,可交换，故有BAAB成立.从而BAABABABABTTT12反之，若AB为对称矩阵，则ABBAABABABABTTT13所以BA,是可交换矩阵.定理５[3]若BA,为同阶可逆矩阵，则BA,可交换的充要条件是11,BA可交换.证明因BAAB,故有14即1A与1B是可交换的.反之，因1A，1B可交换，故有15两边求逆得到BAAB.推论可逆矩阵BA,可交换的充要条件是111ABAB.定理6[3]若BA,为n阶方阵，则AB可交换的条件是TTTBAAB证明如果BAAB，那么TTTTBABAAB反之，若TTTABAB，则TTTTBAABAB，即BAAB.BAABABABTTT111111BABAABAB111111ABABBABA精品文档精品文档定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵.设ndddA..21取矩阵0..00.....0....0..001..11B代入条件BAAB,得nddd21，所以A是一个数量矩阵.反之，设aIA,B为任意n阶矩阵，则BAIaBaBIBaaBBaIAB16引理1(1)0A时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.(2)A的幂矩阵总是与A可交换.定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1n次的多项式矩阵.定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的1n次多项式.定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:(1)BABABABABA(2)'''BAAB定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：BAAB．定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)BABABABABA22(2)2222BABABA(3)2222BABABA精品文档精品文档(4)ABABABABmmKKK,，其中m