数学分析定义、定理、推理一览表

定义1给定两个非负实数012..,nxaaaa012..,nybbbb其中00,ab为非负整数，,1,2,kkabk为整数，若有09,09.kkab则称x与y相等，记为xy.0011,0,1,2,,,.kkllablabklabxyyxxyyx若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或定义2012012..1100,1,2,.nnnnnxaaaaxaaaaxnxxxnn设为非负实数.称有理数为实数的位不足近似，而有理数称为的位过剩近似，1.R00.2.bb,b,b.3.b,bc,c.4.bR,b0,nnb.5.aaaaaaaaaR实数的一些主要性质实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.定义3,0,,0.aaaaaaaaa实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.绝对值得一些性质1.0;=00.2..3.;(0).4..5..6.(0).aaaaaaaahhahahhahhabRabababababaabbb当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式：定义4区间和邻域,,,,,,,.,],(,),(,),(,),,0.;,(),(abxaxbabxaxbabxaxbabRaxxaaxxaaxxaxxRaRxaxaUaUaU开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|axxaaaaUaxxaaUaaaaUaaaaUaaaaUaaaUXxMMUX。。。点的空心邻域：点的右邻域：点的左邻域：（点的空心右邻域：点的空心左邻域：邻域，其中为充分大正数；邻域}(){|}xMMUXxMM，其中为充分大正数；邻域，其中为充分大正数；定义5有界的定义(),(),(),0,,SRMLxSxMxLSMLSSRMxSxMSSSS设为中的一个数集.若存在,使得对一切都有则称为有上界（下界）的数集，数称为的一个上界（下界）.简记：称有界.若数集既有上界又有下界，则称为有界集.若不是有界集，则称为无界集.定义6确界的定义00001..,,,,,=sup..,,,,,SRixSxSiixSxSSSSRixSxSiixSxSS设若数满足：有即是的上界；使得即又是的最小上界，则称为数集的上确界，记作2.设若数满足：有即是的下界；使得即又是的最大下界，则称为数集的下确界，记作=Sinf定理1min.SSSSSSS设数集有上确界.i)=sup=max.ii)=inf定理一确界原理.SSSS设为非空数集若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.定理2.supinf.ABxAyBxyABAB设、为非空数集，满足：对一切和有数集有上确界，数集有下确界，且推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.函数的概念定义1:,.().()|(),().DMfDxyMfDfDMxyDfxyfxfxfDyyfxxDMf给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个,都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数，记作数集称为函数的定义域，所对应的数，称为在点的函数值，常记为全体函数值的集合称为函数的值域函数的四则运算1212*12*,,,=,.()()(),,()()(),,()()(),.()0|()0,,()()/(),.fxDgxDDDDDfgDFxfxgxxDGxfxgxxDHxfxgxxDDgxxDDxgxxDLxfxgxxD给定两个函数和记并设定义与在上的和、差、积运算如下：若在中剔除的值，即令则除法如下初等函数()()(0,1);log(0,1);sin,cos,tan,cot;arcsin,arccos,arctan,cot.xayccyxyaaayxaayxyxyxyxyxyxyxyarcx常量函数为常数；幂函数为实数；指数函数对数函数三角函数反三角函数定义20,1.{|}1{|}01.supinfrxrxrrxaaxaraaara给定实数设为我们规定为有理数，当时，为有理数，当时几个重要的等式（不等式）22212211123111211121111.sin1sin2122.41422111113.(1)14.5.6.11117.1nninnnininininnninniiiixxxnnnnnnnnnnnaaaannaaaaannaaaaanaaaana和由算术平均数几何平均数调和平均数，当=时，“”成立.数列极限定义1,,lim,().nnnnnnnnnnaanNaaaaaaaaaanaaa设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数N,使得当时有则称数列收敛于定数称为数列的极限，并记作或若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.'10;.2lim0,.2.1.nnnnnnnUaaaaaaaaaa定义任给，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限定义若则称为无穷小数列定理数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列收敛数列的性质''''002.2.2.3.lim0(0),0,(,0)2.4.,2.5,nnnnnnnnnnnnaaaMnaMaaaaaaNnNaaaaabNnNab定理（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限若数列收敛，则为有界数列，即存在定理（有界性）正数，使得对一切正整数有若或则对任何或，定理（保号性）存在正数，使得当时有或设与均为收敛数列.若存在正数使得定理（保不等式性）当时有则00limlim.2.601,2,.lim,lim.,2.7lim.limlimlim,limlimlim2.8nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabanaaaaabacNnNacbccaabababa定理设若则设，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有定理（迫敛性）则数列收敛，且定理（四则运算）,limlim,limlim,limlim,0lim0.limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbacaccacaaabbbb及定义1设na为数列，kn为正整数集N+的无限子集，且12knnn，则数列12,,,,knnnaaa称为数列na的一个子列，简记为kna.平凡子列：数列na本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列na与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.定理2.9数列na收敛的充要条件是：na的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.cauchy0,,.nnmaNnmNaa定理三（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的存在正整数，使得当时有函函函数数数极极极限限限定定定义义义0'00'001.,0,,lim.2.;.0,0,limxxxfaAMaxMfxAfxAfxAfxAxfxUxAxxfxAfxxAfx。设为定义在上的函数，为定数.若对人给的存在正数（）,使得当时有则称函数当趋于时以为极限，记作或设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数若对任给的存在正数（），使得当时有则称函数当趋于时以为极限，记作000''00'000000000.3.;;0,limlim.xxxxAfxAxxfUxUxAxxxxxxfxAAfxxxfxAfxAfxAxxfxAxxfx。。或设函数在或内有定义，为定数.若对任给的，存在正数（），使得当或时有则称数为函数当趋于或的右（左）极限，记作或右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右（左00000000lim0lim.3.1limlimlim.xxxxxxxxxxfxfxfxfxfxAfxfxA）极限记为定理函数极限的性质0000000003.2limlim.lim=00,3.4,00.limlim3.5xxxxxxxxxxfxfxfxUxfxAorrAorrAUxxUxfxrorfxrfxgx。。。定理（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的.若存在，则在的某空心定理3.3（局部有界性）邻域内有界若则对任何正数定理（局部保号性）存在，使得对一切有设与都存在，且在某定理（报不等式性）邻00000000000000',limlim.lim=lim='3.6,lim.1limlimlim;3.82)limlimlim;limxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxUxfxgxfxgxfxgxAUxfxhxgxhxAfxgxfxgxfxgxfxgxfxgx。。域；内有则设，且在某；定理（迫敛性）内有则）定理（四则运算）3）000lim,lim0.limxxxxxxfxgxgx无穷小量阶的比较（定义见下页末）0000000001.lim0,.2.,lim0.3.lim=1~.xxoxxxxfxxxfggxfxogxxxfxKLUxKLgxfgxxfxcfggxfxfgxxgxfxgxxx若则称当时为的高阶无穷小量记作若存在正数和，使得在某上有则称与为当时的同阶无穷小量.特别的当时，与必为同阶无穷小量若，则称与为当时的等价无穷小量.记作函数极限存在的条件0000o0o000o0003.8or;'.lim;',limlim=()lim