丁君版工程电磁场与电磁波答案-第一章-矢量分析.

工程电磁场与电磁波习题解答（试用本）主编：丁君第一章1-1解：（1）zyxaaaBA)125()93()32(3−++++−=+=zyxaaa712−+∴BA3+=194491441=++（2）266cos26216coscoscos−=⇒×−=⋅⋅=⋅=⋅θθθθCBCBCBCBCB方向的单位矢量为：26BBBb==C在B方向的分矢量为：33cos(34)1313xyzCbBaaθ•=−=−+−a（3）191321coscoscos−=⋅==⋅θθθBABABABA113πarccos()219θ⇒=−（4）zyxaaaCB553−+−=−的单位矢量为：CB−zyxzyxaaaCBaaa595595593553−+−=−−+−1-2证明：欲证明三矢量A、B、C能构成一个三角形，则须证出三个线性无关的非零矢量位于同一平面上。则有：0)(=וCBA即0=zyxzyxzyxCCCBBBAAA代入得0000431110624431213=−=−−−=zyxzyxzyxCCCBBBAAA即得证1-3解：（1）4321FFFFF+++=合代入数据得xyF2aa=−合（2）514=+=合F（3）合力方向与单位矢量yxaa5152−方向相同，与x轴成1arcsin5−1-4证明：设矢量r的终点在A.B.C构成的平面上，则：(),(),(rarbrc−−−)0在此平面上，则必有不为0的实数满足：,,mnp()()()mranrbprc−+−+−=所以得：pnmcpbnamr++++=，为实数pnm,,1-5解：设A点的坐标为，B点坐标为),(11yx),(22yx则＝，b＝有题意得a),(11yx),(22yx121211xxyyxxyy−−=−−⇒则过A，B点的方程为),(11yx),(22yx()111212yxxxxyyy+−−−=⇒1-6解：欲使,AB互相垂直，则有0AB•=则有得8220ABa•=−−=3=a1-7解：矢量与坐标轴的夹角分别为：A72cos76cos7343693cos==−===++==AAAAAAzyxγβα其中γβα,,分别为矢量A与三个坐标轴方向夹角。1-8(1)证明：1111()(2222)ABBCCACABA×+×+×+−×−1122ABBC=×+×[phone]CABCCAAB×−×−×−×=所以：四个面的面积之和为0（2）可以推广到任何闭曲面1-9解：（1）2739xyzABaa×=−−−a（2）()(2739)(42)111xyzxyzABCaaaaaaו=−−−•−+=−（3）()()111ABCABC•×=ו=−（4）AB×是垂直于A、B所在平面的矢量，有：2739xyzABaa×=−−−a于是垂直于和AB所在平面的单位矢量为：913()919191nxyABaaaAB×=±=++×∓za1-10证明：2'')()(cbabaaccbabacbaaccbו×××=ו××ו×=×利用公式)()()(BACCABCBA•−•=××可得：cbaacbacbaacbaaacbbacacbabaaccbו=וו=ו•×−•×=ו×××=×222'')()()()(])[()()(则acbaacbacbcbaacbacb=ו•×•×ו=ו×'''''同理可证'''''cbaacbו×=，'''''cbabacו×=1-11解：（1）(2)(2)(5)xyzSyaxa=++−a（2）11)3,2,1(−=T，425xyzSaaa=+−，164S25=++=35，⇒425()33535SxySaaaS=±=±+−za1-12解：电场线的切线方向为电场强度方向，则22d(21)dx(42)dy4Elxyxxyyφ=•=−+−=−−++∫∫c即电场线方程为cyyxx++−−4221-13解:（1）3'3'3'1111()()2()()2()()2()222xyzRxxaRyyaRzzaR−−−∇=−•−−•−−•−3'3'3'()()()()()()xyzRxxaRyyaRzz−−−=−•−−•−−•−a'3'3'31111()[()2()()2()()2()]222'xyzRxxaRyyaRzzaR−−−−∇=−−•−−−•−−−•−−=3'3'3'()()()()()()xyzRxxaRyyaRzz−−−−•−−•−−•−a则有：)1()1('RR−∇=∇（2）)()(RRfRf∇∂∂=∇，)()(''RRfRf∇∂∂−=∇−又)()('RR−∇=∇所以有`)()('RfRf−∇=∇1-14解：设xzyx22+=φ则2(22)()(2)xyzxyzaxaxaφ∇=+++(2,1,2)ˆˆ44yzaaφ−∇=+1-15解：两个曲面的夹角实为它们的梯度的夹角的较小的一个1222xyzxayazaφ∇=++424xyzaaa=−+222xyzxayaaφ∇=+−42xyzaaa=−−1212cosφφφφθ∴∇⋅∇=∇∇(1644)8cos621321θ+−⇒==08arccos,090321θθ⇒=1-16解：(1)222248Axxyxyz∇⋅=++2(2)11122222111222(2x2xy48xyz)dxdydz0−−−++=∫∫∫(3)Z1zZ1zSZZ22SSAds(A)adxdy(A)(a)dxdy==⋅=⋅+⋅−∫∫∫∫∫上下y1yy1yyy22SS(A)(a)dxdz+(A)adxdz==+⋅−⋅∫∫∫∫左右x1xx1xxx22SS(A)adydz(A)(a)dydz==+⋅+⋅−∫∫∫∫前后又z1z1zz22(A)(A)===∵−y1y1yy22(A)(A)===−x1x1xx22(A)(A)===−sAds0∴⋅=∫所以可以得到：即为高斯定理。vsAdvAds∇⋅⋅=⋅∫∫1-17解：（1）设此单位立方体上端开放55xyzxyzaaaFzaxyaxyzFxFyFz∂∂∂∇×==⋅+⋅−∂∂∂xza1sSSSz211SSyy22Fds5xzdxdy+zdxdyzdxdz-(5xydxdz5xydxdz0∇×⋅=⋅+⋅++⋅=∫∫∫∫∫∫下前后=-左右=-=())()（2）2llFdl=(5xyzdxydyyzdz)⋅⋅++∫∫⋅dz=0=22l1l2l3l4ydy5xyzdxydy5xyzdx+⋅++⋅∫∫∫∫11112222221111222255ydy()xdxydyxdx044−−−−=+−++∫∫∫∫=其中：：y从1l12到-12，12xz==；：x从2l12到-12，11,22yz=−=：y从-3l12到12，1,22xz=−=1；：x从-4l12到12，12yz==所以：slFdsFdl∇×⋅=⋅∫∫即：斯托克斯定理成立1-18解：(1)48EaRsinϕθ∇×=96cosERθ∇•=(2)20π2π200ˆsindd24sincosdd0RssEsERaRθθϕθθθϕ•=⋅==∫∫∫∫d(3)2ππk2v00022π096cosEdVRsindRddRsin48R2π02θθθϕθ∇•==•=∫∫∫∫1-19解：(1)4xABa+=(2)3412AB⋅=−−=−(3)(22)(13)(62)48xyzyzABaaaa×=−+−−+−−=−−a(4)842455zyznaaaaABaABy−−+×=±=±=×∓(5)cosABABθ⋅=⋅⋅1cos||||21ABABθ⋅==−⋅所以：1ππ-arccos(0)221θθ=(6)标投影：2cos6Aθ=−矢投影：1cos(2)3xyzBAaBθ⋅=−−+aa1-20解：(1)从P到Q的矢量距离(25)(312)(0)315xyzxPQaaaaa=−+−−+=−−y(2)2341592=+=PQ(3)PQ与xy平面平行(4)P点坐标（5，12，1），Q点坐标（2，-3，1）1-21解：由三矢量可知：,,ABCBAC=+所以：,,ABC构成三角形。且则有：0AC•=AC⊥所以该三角形为直角三角形。所以直角三角形的面积为：11155520222xyzSABaaa=×=−−=21-22解：（1）59rzABaaaϕ+=+−（2）6201214AB•=+−=（3）31172rzABaaϕ×=−+a（4）AB×是垂直于，AB所在平面的矢量，即为AB平面的法向量则平面的单位法向量为1311721254rz(aaa)ϕ±−+（5）A，B之间夹角为17cos529ABABθ•==•，29751arccos=θ（6）50A=,29B=则A在的标投影为:B1429Acosθ=A在的矢投影为:B1424329rzAcosB(aaa)Bϕθ=++1-23解：（1）23171010RABaaaθϕ−=−+−（2）7AB•=−（3）102912RABaaaθϕ×=++（4）AB×是垂直于AB所在平面的矢量，即为AB平面的法向量则平面的单位法向量为11029121085R(aaa)θϕ±++（5）A，B之间夹角为17cos92ABABθ•==•，2791arccos=θ