抛物线的简单几何性质习题

[学业水平训练]1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：选C.在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－112，∴抛物线的焦点为F(－112，0)，即p2＝112，∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.12B.14C.16D.18解析：选A.线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．0或1解析：选D.联立y＝kx＋2y2＝8x，得(kx＋2)2－8x＝0.整理得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0.当k＝0时，方程变为－8x＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，由Δ＝0得(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.综上，k＝0或1.4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)解析：选B.设A(x，y)，则y2＝4x，①OA→＝(x，y)，AF→＝(1－x，－y)，OA→·AF→＝x－x2－y2＝－4，②由①②可解得x＝1，y＝±2.5．等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组y＝x，y2＝2px，得x＝0，y＝0，或x＝2p，y＝2p.∴A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．∴|AB|＝4p.∴S△AOB＝12×4p×2p＝4p2.6．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析：由x－y－1＝0y＝ax2，得ax2－x＋1＝0，由Δ＝1－4a＝0，得a＝14.答案：147．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，∴所求抛物线方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52.因此，点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：729．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解：(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p2，故p2＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为x29－y216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，可得p2＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.10．直角△AOB的三个顶点都在抛物线y2＝2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝3x，△AOB的面积为63，求该抛物线的方程．解：因为OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝3x，所以OB所在直线的方程为y＝－33x.由y2＝2px，y＝3x，得A点坐标(2p3，23p3)，由y2＝2px，y＝－33x，得B点坐标(6p，－23p)．|OA|＝43|p|，|OB|＝43|p|，S△OAB＝833p2＝63，所以p＝±32.即该抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.[高考水平训练]1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p2＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．解析：设P(x，－x2)为抛物线上任一点，则点P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4x＋3－x2－8|42＋32＝15|－3x2＋4x－8|＝15－3x－232－203，故当x＝23时，d取最小值，为d＝15×203＝43.答案：433．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．解：(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由x＝0，y2＝2x，得x＝0，y＝0.所以直线x＝0与抛物线只有一个交点．(2)若直线斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1，由方程组y＝kx＋1，y2＝2x，消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，则解得x＝12，且y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝12，则直线方程为y＝12x＋1.综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1，或y＝12x＋1.4．(2014·昆明高二检测)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．解：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－p2.∵A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离．∴4＋p2＝6，∴p＝4，∴此抛物线的方程为y2＝8x.(2)由y2＝8x，y＝kx－2，消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A，B，则有k≠0，Δ＞0，解得k＞－1且k≠0，∵AB中点横坐标为2，则有x1＋x22＝4k＋82k2＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)．∴所求k的值为2.