5.5-2-二倍角与半角的正弦、余弦和正切

§5.5-2二倍角与半角的正弦、余弦和正切Sines,CosinesandTangentsOfDoubleAnglesandHalfAngles教学目标学习要求教学目标2、会用半角公式、万能公式进行化简、求值、证明。1、掌握半角公式、万能公式的推导方法。1、让学生通过变换的数学思想，体验推导公式的过程与方法。学习要求3、感受数学知识的内在联系，体会数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性。2、能够用半角公式、万能公式进行进行化简、求值、证明。导入一导入二导入一导入二导入一.,100sin100cos,50cos表示出来并用及求已知mm150cos2100cos2解：12100cos2m那么sin100°有几种求法呢？212100sin0100sinmm导入二导入二导入一.,50sin50cos,100cos表示出来并用及求已知mm150cos2100cos2解：150cos22m2150cos2m2150cos,050cosm又类似地sin50°有几种求法呢？2150sinm探究一探究二探究三探究四探究一探究一探究二探究三探究四吗？、、来表示用或公式你能借助二倍角的余弦2tan2sin2coscos),sin212cos1cos22(cos22结论：2cos12cos2cos12sincos1cos12tan2cos12cos2cos12sincos1cos12tan说明1：这三个恒等式分别叫做半角的余弦、正弦和正切公式.说明3：半角公式和倍角公式实际上是同一公式的不同变形.说明4：对于半角和倍角，要理解其实质。例如：.223322倍的是倍，的是说明2：公式中的号，由的终边在直角坐标中的象限确定.2β探究二探究一探究二探究三探究四cos1sin2tan,,22证明若Zkk证:cos1sin2cos22cos2cos22sin2cos2sin2tancos1sin2tan即的推导过程吗？你能写出用类似的方法sincos12tan,说明5:.sincos12tancos1sin2tan:也是半角的正切公式和公式.,cos1cos12tan不带根号该公式特点是比较与公式探究三探究一探究二探究三探究四.2tan2cos2sin)0,2(,53cos的值和、，求已知解:，，可知由)0,4(2)0,2(02tan,02cos,02sin,5525312cos12sin,55225312cos12cos.212cos2sin2tan探究四探究一探究二探究三探究四..2.tancossin2tanZkk其中和、分别表示试用2cos2sin2sin解：(如何构造出呢?)2tan2cos2sin2cos2sin2221的妙用2tan12tan22分子、分母同时除以得到2cos2类似地推导出：因此.2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2..2tan),2(换公式”这组公式叫做“万能置表示的所有三角比都可以用由此可知，角Zkk练习一练习二练习三练习一练习一练习二练习三83tan8tan)2(12cos12sin)1(.各式的值利用半角公式，求下列22(2)22)1(答案：)432834286212(提示：.值此题可采用半角公式求练习二练习一练习二练习三.2tan2cos2sin,2tan的值和、求已知342tan532cos54sin2答案：(提示:应用万能置换公式)练习三练习一练习二练习三2tan2)4tan()4tan()2(sin1)24(cos2)1(.2证明下列恒等式常用的方法提示：证明三角恒等式.(1)左右或者从右直导法即从左.)2(同时进行证明左右同一法即等式两边.0)3(BABA可等价证明比较法即若证说明6：三角化简或证明一般遵循的原则是：（1）从繁化到简（2）切割化为弦（3）角的统一小结:(1)半角公式与倍角公式实际上是同一公式的不同表达形式。(2)半角与倍角实际是角的相对关系。(3)熟悉倍角公式的实质是“升幂、降角”，而半角公式的实质是“降幂、升角。.2tan,540450,312cos2sin的值求已知.2cos2sin2tan2cos2sin,12cos2sin22求值而后利用，和求出根据已知及法一.sin求值而后利用万能置换公式，方求出将已知等式两端完全平法二.2,2三角比的符号进而确定的范围在于判断出两种方法操作的关键都拓展一:提示:拓展二:222sincoscoscos3232168logsinlogcos881，求值（1）（2）1sin2cos21sin2cos2xxxx2，化简2(tancot)103xx3,已知方程的一个根为2+,求sin22221[cos()coscos()]BA3BB3yBABBA4,定义：叫做对的余弦方差。求证：对任意实数，对的余弦方差是常数。1832cotx1sin22