圆的计算题与证明题

yxyx备用图图9EMRQPBAABO'oo1.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=312cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以32cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度数.（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.yx图10M（R）QPABO'o第一题解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=3331212OAOB∴∠OAB=30°（2）如图10，连接O‘P，O‘M.当PM与⊙O‘相切时，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等边三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=36又∵OP=32t∴32t=36，t=3即：t=3时，PM与⊙O‘相切.（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=21AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×t3223∴OE=OA-AE=312-32t∴Q点的坐标为（312-32t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=)32312(2212)32312(21)212(32213121221tttttt=372336362tt=318)3(362t（60＜＜t）当t=3时，S△PQR最小=318yxDHQ3Q2图11Q1PBAo（4）分三种情况：如图11.○1当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=312∴32t+4t=312∴t=2336或化简为t=312-18○2当PQ2=AQ2=4t时过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，∴PA=2AD=2AQ2·cosA=34t即32t+34t=312∴t=2○3当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点HAH=PA·cos30°=（312-32t）·23=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，∴t=3.6综上所述，当t=2，t=3.6，t=312-18时，△APQ是等腰三角形.2．已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若3tan,84ABCCF,求CQ的长；（3）求证：2()FPPQFPFG．2.答案：（1）证明：∵C是AD的中点，∴ACCD，∴∠CAD=∠ABC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直径AB，∴ACAE∴AECD∴∠CAD=∠ACE。∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P是△ACQ的外心。（2）解：∵CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=34CFBF，CF=8，得43233BFCF。∴由勾股定理，得22403BCCFBF∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=34ACBC，403BC得3104ACBC。易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴2ACCQBC∴2152ACCQBC。（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴AFFPFGBF，即AFBFFPFG易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴2FGAFBF（或由摄影定理得）∴2FCPFFG由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴2()FPPQFPFG。3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F(1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=12AB；(3)若14BHBE，求BHCE的值．3、答案：