条件概率及其应用

本科毕业论文（设计）(2014届)条件概率及其应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学姓名冯杰指导教师孙晓玲职称副教授学号：1207210091合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）I摘要条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念,在概率论的知识体系中起着承上启下的作用.因而本文以条件概率及其应用作为研究课题,研究条件概率的概念、性质以及相关的四个公式(条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)的基本计算方法,并研究全概率公式以及贝叶斯公式在实际生活中的应用.通过本课题的研究,可了解抽签问题和风险决策问题中全概率公式和贝叶斯公式的应用.了解应用条件概率方法可以使实际生活中的问题转变为相关概率计算,让问题解决过程变得简洁,清晰.因此,研究条件概率及其应用有着极其重要的意义.关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；风险决策合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）IIABSTRACTConditionalprobabilityisanimportantandusefulconceptsinprobabilitytheory,playaconnectingroleinprobabilitytheorysystem.Sointhispaper,theconditionalprobabilityanditsapplicationastheresearchsubject,researchconditionprobabilityconcept,characterandcorrelationoffourformula(conditionalprobabilityformula,multiplicationformula,theformulaoftotalprobability,theBiasformula)thebasiccalculationmethods,applicationandstudythefullprobabilityformulaandBiasformulainpracticallife.Throughthestudyofthissubject,canunderstandtheapplicationofballotproblemandriskdecisionmakingprobleminthewholeprobabilityformulaandBiasformula.Theprobabilisticmethodtounderstandtheapplicationconditionscanmakereallifeproblemsintotherelevantprobabilitycalculationso,problemsolvingprocessmoreconcise,clear.Therefore,thereisanextremelyimportantsignificanceofconditionalprobabilityandItsApplications.Keywords：conditionalprobability；completeprobabilityformula；Bayesformula；Riskdecision合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）III目录摘要......................................................IABSTRACT.................................................II1引言......................................................12条件概率的概念及重要公式...................................12.1条件概率概念及性质.......................................12.2乘法公式.................................................22.3全概率公式...............................................32.4贝叶斯公式...............................................33条件概率基本公式计算方法...................................43.1乘法公式计算方法.........................................43.2全概率公式计算方法.......................................53.3贝叶斯公式计算方法.......................................54条件概率基本公式的应用技巧.................................64.1公式之间的联系...........................................64.2应用技巧.................................................75条件概率在实践中的应用.....................................75.1全概率公式在抽签问题中的应用.............................75.2贝叶斯公式在风险决策中的应用.............................96结论.....................................................11参考文献...................................................12合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）11引言在做数学习题的时候,可以用很多方法解同一道题目,从而可以从这些解题方法中找到最优化、最适合自己的解题方法.同样在解决实际生活中的问题时也有不同的解决方法,从中找到最优化的解决方法.随着对条件概率的深入研究,条件概率的解题方法不仅在概率问题中得到应用,更是凭借它的直观化,在很多的实际生活问题中得到广泛的应用.本课题的研究意义就在于利用条件概率的解题方法,使生活中的数学问题在运用条件概率方法求解时能够变得更加简洁明了,如在临床医学、无线电通讯、产品质量以及教育科研等很多领域都得到了不同程度的应用.条件概率思想方法的运用可以使得这些生活问题更容易解决.要将条件概率的解题方法应用在生活问题中,先要把生活中的问题抽象成数学问题进行分析,然后构造恰当的概率模型,再运用相应的概率模型进行解题,使解答过程更简洁.在此类问题中,最主要的难点就是如何构建恰当的概率模型,从而转化为具体的概率求解问题.通过条件概率的解题方法在生活问题中得到运用,体会概率论作为数学里的一个重要分支的意义,加深人们学习条件概率的重要公式的兴趣．2条件概率的概念及重要公式2.1条件概率概念及性质1.条件概率概念概率（英文名:probability）,是表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性.通俗的讲：概率是随机事件发生的可能性大小,它是随机事件出现可能性的量度]1[.在遇到有关概率问题的时候,总是需要在某个特定的条件下进行分析.但有时也会碰到这种情况：在知道其中一个事件B发生的前提条件下,求出另一事件A发生的概率.例如：某周五晚上,你考虑周末要么出去游玩,要么在家.然而当晚天气预报表示明天下雨的概率为0.3,反之就不下雨.显然,事件“明天不下雨”或“下雨”的发生使得“出去游玩与否”的概率发生了改变.将这种“明天不下雨”已发生条件下“出去游玩”的概率称为条件概率；与此相对应,若只考虑周末“是否出去游玩”的概率可称为无条件概率.若将“明天不下雨”记作事件B,那么“出去游玩”就记作事件A,因而要计算的概率事实上就是“在知道事件B发生的条件下,事件A发生的概率”,这个概率可记为)(BAP.条件概率在概率论中处于很重要的地位,它主要是求解在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率.此时,对于条件概率来说,要抓住两个点：一是要知道生活中哪些是条件概率,其中的条件是什么；二是将如何计算条件概率.为此,引入条件概率的定义如下]2[：定义1：设BA,为两个事件,且0)(AP,则称)()(APABP为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,记为：合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）2)()()(APABPABP---------条件概率公式(1)定义2：设BA,为两个事件,且0)(BP,则称)()(BPABP为事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率,记为：)()()(BPABPBAP----------条件概率公式(2)定义3：如果事件B发生不影响事件A发生的可能性,即)()(BPABP,就说明事件A与B是相互独立的.特别地,上述事件BA,相互独立,就是指条件概率转化为无条件概率,因而无条件概率是条件概率的特殊情况；若事件A为不可能事件时,)(ABP就毫无意义.2.条件概率的性质根据条件概率的公式化定义,可以获得以下一些相关的性质]2[：性质1.1)(AP；性质2.0)(AP,)0)((AP；性质3.0)(ABP,)0)((AP；性质4.若事件,,,,21nBBB两两相互排斥,则11)()(iiiiABPABP；性质5.A和B是样本空间中的任意事件,0)(CP,)(－)()－(CABPCBPCABP；性质6.)(－1)(BAPBAP,)0)((BP；性质7.)(－)()()(CABPCBPCAPCBAP,)0)((CP.到此,仅仅给出的条件概率公式化定义是严密的数学定义以及相关的性质,我们仅能通过定义对概率进行探讨,并没有给出具体的计算方法,那么接下来就从条件概率的重要公式讨论概率的计算问题.2.2乘法公式在初次学习条件概率时,都会避免不了出现这种错误：即将)(ABP与)(ABP弄混淆,为了更好的学习条件概率,需要分清两者之间的区别于联系.两者之间的区别：)(ABP是说在随机试验E中,事件A发生的同时,事件B无条件地在原始样本空间下发生的概率；而)(ABP是指在E中,附加一个条件A已经发生情况下,在新的样本空间下,事件B也发生的条件概率,因而事件“AB”与事件“AB”是两个不同的概念.两者之间的关系可以通过乘法公式帮助理解.现在给出乘法公式如下：定理1]3[：设BA,为两个事件,若0)(AP,则有：)()()(ABPAPABP-------------乘法公式(3)若0)(BP,则有：合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）3)()()(BAPBPABP-------------乘法公式(4)将以上的乘法公式进行推广可得.定理2]7[：假设有n个事件nAAA,,,21满足0)(1－21nAAAP,则就可以得到公式：)()()()()(1－2121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP.这就是乘法公式,它揭示了)(),(),(ABPABPAP三者之间的关系,在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个,最主要在于分析实际问题中已知的是什么,要求的是什么.从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率)(BAP来计算)(ABP的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件”的概率不为零.2.3全概率公式在解决现实生活中有关概率问题的时候,并不是所有的概率问题都可以用概率乘法公式,例如在遇到有关复杂事件的概率问题时,就要先把该复杂事件划分为很多个相互独立的,同时又相对比较简单的事件的总和.这时就可以先求出这些简单事件的概率,接着通过乘法公式与加法公式得到所求复杂事件的概率.而这种方法的一般化,就得到了下列公式,这个公式被称作全概率公式.定义4]9[：设为随机试验E的样本空间,nBBB,,,21