2.4正态分布(上课用)

2.4正态分布高二数学选修2-3X01P1-pp111nnCpq－0nnnCpq00nnCpqkknknCpqX01…k…nP……0nMNMnNCCC11nMNMnNCCCknkMNMnNCCC0nMNMnNCCCX01…k…nP……回顾两点分布：1、.二项分布：3、.超几何分布：2、4、由函数及直线围成的曲边梯形的面积S=_________；()bafxdxxyOab(),,0yfxxaxby1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系：由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布。一般样本容量越大,这种估计就越精确。2、从高一所学知识得出的100个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线----总体密度曲线。一、复习数学情景看下面的例子.某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下：25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本，由数学3中2.2.1节知识可得到这组样本数据的频率分布直方图（图2-4）第一步：分组确定组数，组距？复习区间号区间频数频率累积频率频率/组距125.235~25.26510.010.010.33225.265~25.29520.020.030.67325.295~25.32550.050.081.67425.325~25.355120.120.204.00525.355~25.385180.180.386.00625.385~25.415250.250.638.33725.415~25.445160.160.795.33………………………………1125.535~25.56520.0210.67第二步：列出频率分布表复习中间高，两头低，左右大致对称第三步：作出频率分布直方图25.23525.26525.53525.5650.010.020.330.678.33xy频率/组距24680图（2-4）0.010.020.25复习如何根据频率分布直方图求频率？高尔顿板11样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品尺寸(mm)总体密度曲线知识点一：正态密度曲线若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．概率密度曲线的形状特征．“中间高，两头低，左右对称”ab(a,b)间的概率这条曲线与x轴一起围成的面积为1总体密度曲线0YX在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征；……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态分布在概率和统计中占有重要地位。知识点二：正态分布的意义图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态变量概率密度曲线”，它的函数表达式是知识点三：正态分布与密度曲线)0(ss22()21()2xfxess式中的实数、是参数,分别表示总体的平均数与标准差.不同的对应着不同的正态密度曲线μμ、σ(x∈R)如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线X落在区间(a,b)的概率为:cdab平均数XYbadxxfbXaP)()(的意义总体平均数反映总体随机变量的平均水平x=μ总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度s的意义方差相等、均值不等的正态分布图示312σ=0.5μ=-1μ=0μ=1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；s均值相等、方差不等的正态分布图示s=0.5s=1s=2μ=0若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。sss标准正态分布N(0,1)yxμ]21,0(s（－∞，μ]（μ，+∞）（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33μ=-1正态曲线的函数表示式222)(21)(ssxexf),(x=μx（5）曲线与x轴之间的面积为1(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),,(0)2xfxessss都是实数222()2xfxe2(1)41()22xfxe221()2xfxeB例2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。D练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于，求该正态分布的概率密度函数的解析式。1422025301510xy535122、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。322241)(xexf4)20(221)(xexf【3】(淄博三模)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数2(80)2001()e,(,)210xfxx，则下列命题不正确的是…(B)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10B正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)对称区域面积相等。即概率相等。正态曲线下的面积规律•对称区域面积相等。即概率相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)3、特殊区间的概率:-a+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。2(,)s()()aaPaXafxdxsss(,]aa()68.3%,(22)95.4%,(33)99.7%.PXPXPXssssss特别地有小概率事件的含义我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。ss2,2ss3,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。当3as时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)ss之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3s原则.()68.3%,(22)95.4%,(33)99.7%.PXPXPXssssss()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXssssss例1.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?解:依题意,X～N(90,100),90,10.s(70110)PX(22)0.954PXss(80100)PX()0.683.PXss即考试成绩在(80,100)间的概率为0.683.考试成绩在(80,100)间的考生大约有20000.6831366.例2.若X～N(5,1),求P(6X7）解:因为X～N(5,1),5,1.s又因为正态密度曲线关于直线x=5对称,1(57)(37)2PxPx10.9540.477,21(56)(46)2PxPx10.6830.3415,2(67)(57)(56)PxPxPx0.4770.34150.1355.1(521521)2Px例3：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？25.0,4N解：25.04，服从正态分布由于N由正态分布的性质知，在，正态分布25.045.03×4,5.03×4N概率只有0.003,之外取值的5.5,5.27.5而这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件.据此可认为该批零件是不合格的。.假设检验的基本思想如下三步：进行假设检验可归结为而言的，假设检验是就正态总体..).12），（正态分布统计假设里的变量服从提出统计假设sN.内落入的取值是否确定一次试验中),(a).ss332.，就拒绝统计假设如果，接受统计假设如果作出判断),(a;),(a.).ssss33333练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（）A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]2(100,5)A2、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率等于（）A.0.954B.0.046C.0.977D.0.0233、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.D0.50.954(,2)(0)PX(22)PX1．【2009安徽卷理】若随机变量2~(,)XNs，则()PX=________.2．【2007年浙江理】已知随机变量服从正态分布22,Ns，40.84P，则0P（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.843．【2010山东理5】已知随机变量服从正态分布20,Ns，若20.023P，则22P（）A．0.477B．0.625C．0.954D．0.97712AC【3】（07全国）在某项测量中，测量结果服从正态分布2(1)(0)Nss，．若