2009年-全国大学生数学建模竞赛-B题--优秀论文

眼科病床的合理安排摘要本文针对某医院眼科病床的合理分配问题建立了一系列的数学模型解决了病床分配过程中出现的问题，提出的模型很好的取代了原来的FCFS模型，实现了医院病床使用的高效率和病人的及时就诊，同时是等待住院的排队人数变少。问题一：确定评价模型优劣的指标考虑到医院和病人两方面的利益，我们确立和四个指标来评价病床安排模型的优劣，它们分别是：1.病床平均周转次数2.病人平均等待时间3.待住院队列人数4.待住院队列人数变化趋势。这个四个指标中，第一个指标可以用来评价医院的病床利用效率，而后三个指标用来评价病人的利益是否受到充分保证，这影响到病人对医院的满意度。问题二：建立合理的病床安排模型并进行分析基于上述确定的四个评价指标，我们建立了优先度分配模型，以病人的平均住院时间取整确定初始优先度值。在分配病床时，优先度低的优先分配病床，这样医院中优先进入住院时间短的病人，那么出院人数就会相对较多，继而入院人数也会变多。但是，为了避免部分优先度较高的病人迟迟不能入院的特殊情况，每过一天，给队列里的病人优先度减1,因此优先度高的病人最终也能入院。对于外伤病人，定义其优先度为负无穷，这样可以保证外伤病人及时接受治疗。用此模型对9月12日后的入院情况用Matlab进行计算机仿真模拟，为了得到模拟的病人入院和出院情况，我们又对不同病人的入院人数和术后观察时间运用了卡方拟合检验，得到不同类病人的入院情况满足泊松分布，术后观察时间满足均匀分布。在此基础上对9月12日以后的医院情况进行模拟，得到了9月12日以后医院的病人入院出院情况。得到平均病床周转次数为0.11，60天模拟结束后队列长49，白内障等待时间大幅缩短，队列呈持续变短趋势。问题三：在病人门诊时告知大致入住区间利用问题二建立的优先度分配模型，只要有已有的队列信息和当天的门诊信息就可以确定病人的入住时间区间，但是每种病的恢复时间不同，需要确定恢复时间的区间。因此在数据处理时，对本题所提供的已出院病人的恢复时间进行卡方拟合检验，发现其符合均匀分布，故取恢复时间区间为统计规律最大值和最小值之间的区间。作为例子，用本题所给的未住院病人数据用Matlab进行模拟，给出这些病人的预测出院时间。具体表格已在文中给出。问题四：周六周日不安排手术时模型工作情况及调整我们发现，当住院部周六、周日不安排手术时，模型一的分配结果并不理想，在2008年9月11日，等待队列为127人，等待入院的病人队列同样样会越来越长。需要对医院的手术时间安排作出相应调整。调整方案：将白内障病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。问题五：提出模型使各类病人占用病床的比例大致固定的方案平均逗留时间最短这一问我们采用排队论中的多服务窗模型，因为病人的到来符合泊松分布，在外伤优先级最高以及采用我们自己制定的原则的大前提下，我们认为很难找出通用的最优化方案。因此我们依据排队论的多服务台思想给出一种适当的比例模型，在分配完病床之后，在各类病人之间采用FCFS模型进行服务。我们假定外伤病人有95%的几率立即住院，求出外伤病人病床数，并用期望比例求出余下各种病人占用病床，最终得到外伤病人病床数12，白内障单眼14，白内障双眼19，视网膜25，青光眼9。关键词：优先值分配模型，计算机仿真模拟，Matlab，卡方拟合检验一、问题重述我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、问题分析问题一：问题一要求确定合理的评价指标体系来评价病床模型的优劣。从医院的角度来说，病床安排的最大考虑因素是医院的利益，但医院的收益取决于病人的看病数量。因此影响病人看病数量的因素就将成为决定模型好坏的直接原因。直接地，医院接纳病人的频率就决定了医院能有多大的患者流量。间接地，病人对医院的满意度决定了病人是否选择去此医院就诊，直接影响到医院最终能够接受的病人数量。因此，指标体系必须兼顾医院和患者。在病床利用效率方面，我们制定了病床平均周转次数为标准衡量病床的利用效率。在患者方面，我们给出病人平均等待时间，等待住院队列长度，等待住院队列长度变化趋势五个指标供参考。综合以上四个指标，就能判断病床模型的优劣。问题二：问题二要求给出一种病床分配模型，并使用自己制定的指标予以评价分析。因此我们从自己指定的指标出发，结合医院的具体要求进行分析。首先为了实现病床的利用效率较高，应该让医院病人更替的频率变高，因此尽量让住院时间少的人先进院，这样病人出院的频率就会相对较高，相对地，病人住院的频率也会增加。在这种思想上，我们决定给不同疾病根据其平均住院时间赋不同的优先值，由病人的优先值判断住院的顺序（病人优先值越低，入院顺序越靠前）。但是如此一来可能会出现有部分病人由于优先值很高，很长时间内都无法入院，因此每过一天，将队列中等待病人的优先值减小一。最终队列中等待的病人就能够全部入院。在此模型的基础上，加上医院条件的种种限制如周一周三只做白内障病人的手术，对9月12日以后的医院病人流通情况进行计算机仿真模拟，得到病人的住院出院情况。由于是计算机模拟得出的结果，其中涉及到很多随机数值，因此结果会略有不同，选取其中一种较为普通的情况，对其结果进行分析。问题三：问题三要求在病人门诊时就能大体告知病人他的入院时间。对于这一问的解答，我们以题中所给的还没有住院的102个病人为例进行解答，给出这102个病人的入住大致区间。那么医院再有病人来门诊时处理方法相同。在这个问题的处理中，涉及到每种病人的术后观察时间，这一时间我们通过卡方拟合检验结合统计规律用计算机随机模拟的方法得到。因此多次模拟得到的结果必为波动的结果，波动的范围即为病人入院的区间。问题四：我们发现，当住院部周六、周日不安排手术时，模型一的分配结果并不理想，在2008年9月11日，等待队列为127人，等待入院的病人队列同样样会越来越长。需要对医院的手术时间安排作出相应调整。调整方案：将白内障病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。三、模型假设1.假设除了外伤之外的疾病不考虑急症的情况2.外伤病人全部都是门诊的第二天时间入院，入院第二天即手术。3.假设医院的手术条件充分，不考虑手术条件对病人住院的影响。4.求解第三问时要求题中所给的还未住院的病人信息具有真实可靠性，不能出现某种疾病太多或者太少，致使某些不实际的情况出现。四、符号说明λ:单位时间内顾客到达服务台的平均人数μ:单位时间内服务台服务的人数C:服务台个数P(𝑛≤𝐶):服务台空闲的概率P(𝑛𝐶):顾客到来后需要等待的概率mT门诊时间rT入院时间sT第一次手术时间cT出院时间(2)siT第二次手术时间（仅限于双眼白内障病人）unidrnd(x)在0到x范围中产生满足均匀分布的随机值k模拟时长f日期cN出院人数i病人类型1至5分别为1：白内障病人2：双眼白内障病人3：青光眼病人4：视网膜疾病病人5：外伤病人A平均病床周转次数；mod(x,y)求x除以y的余数五、模型准备5.1一些统计数据的处理根据对FCFS模型下得到的数据统计分析可得，五类病人在就医过程中所经历的平均等待时间、平均准备时间、平均术后观察时间和平均住院时间如下表1所示。表1：在FCFS模型下得到的统计数据疾病类型平均等待时间平均准备时间平均术后观察时间平均住院时间外伤1.001.006.047.05视网膜疾病12.542.3810.1712.54青光眼12.262.418.0810.49白内障单眼12.672.332.905.28白内障双眼12.513.602.968.56由上述表格可以得到五类疾病的平均住院时间，给后续确定优先值提供依据。5.2对每天门诊病人数和病人术后观察时间的卡方拟合检验。承接摘要中所述，为了后续的计算机仿真模拟，我们对所给的7月13日到9月11日的每日门诊人数和病人术后观察时间应用EXCEL的6SQ统计插件进行卡方模拟检验，所有检验的显著性水平均选用0.05，处理结果发现每日门诊人数满足泊松分布，病人术后观察时间满足均匀分布，为后续的计算机仿真模拟提供了依据。详细表格如下（处理过程见同文件夹下data.xls）。白内障双眼每天门诊人数统计量数据个数61总和133最大值7平均值2.180327869假设检验零假设服从泊松分布自由度4卡方统计量1.874740747p值0.758783496显著性水平0.05结果接受零假设青光眼每天门诊人数统计量数据个数61总和63最大值4平均值1.032786885假设检验零假设服从泊松分布自由度3卡方统计量4.375631345p值0.223655567显著性水平0.05结果接受零假设白内障单眼每天门诊人数统计量数据个数61总和100最大值5平均值1.639344262假设检验零假设服从泊松分布自由度3卡方统计量1.832080941p值0.607978772显著性水平0.05结果接受零假设白内障单眼术后观察时间统计量数据个数71总和206假设检验零假设服从均匀分布自由度34卡方统计量7.858300287p值0.999999107显著性水平0.05结果接受零假设5.3Matlab将日期转换为数字便于运算的程序由于在本题中用Matlab处理日期，需要定义日期的加减等琐碎函数，详见附录9.1外伤每天门诊人数统计量数据个数61总和64最大值3平均值1.049180328假设检验零假设服从泊松分布自由度2卡方统计量1.340707416p值0.511527617显著性水平0.05结果接受零假设视网膜每天门诊人数统计量数据个数61总和170最大值7平均值2.786885246假设检验零假设服从泊松分布自由度