抛物线的几何性质课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修1-11-2圆锥曲线与方程第二章2.3抛物线第二章第2课时抛物线的几何性质第二章课前自主预习方法警示探究课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业思想方法技巧课前自主预习•大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？标准方程图形范围顶点对称轴离心率y2＝2px(p0)______________________________y2＝－2px(p0)______________________________x≥0，y∈R(0,0)x轴e＝1x≤0，y∈R(0,0)x轴e＝1x2＝2py(p0)______________________________x2＝－2py(p0)______________________________y≥0，x∈R(0,0)y轴e＝1y≤0，x∈R(0,0)y轴e＝1•1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()•A．(2,0)B．(－2,0)•C．(4,0)D．(－4,0)•[答案]B[解析]考查抛物线的标准方程及性质．y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得p2＝2，∴焦点F是(－2,0)．2．(2014·安徽文)抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B.y＝－2C.x＝－1D.x＝－2[答案]A[解析]∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.3．(2014·全国新课标Ⅱ文)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．73[答案]C[解析]由题意知，F(34，0)，设直线AB的方程为y＝33(x－34)，由y2＝3xy＝33x－34，得13x2－72x＋316＝0.∴x1＋x2＝－－7213＝212，即xA＋xB＝212.|AB|＝xA＋xB＋p＝212＋32＝12.•4．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为______________．[答案]324[解析]由条件B(p4，1)代入y2＝2px得，得1＝2p×p4，∴p2＝2，∴p＝2.∴B(24，1)，故d＝324.5．已知抛物线y＝2x2上的点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，若x1·x2＝－12，则m的值为____________．[答案]32[解析]设直线AB的方程为y＝－x＋t，代入y＝2x2，得2x2＋x－t＝0，则x1＋x2＝－12，x1·x2＝－t2，∴AB的中点C为(－14，t＋14)，把C点坐标代入y＝x＋m，得t＝m－12，又x1·x2＝－t2＝－12(m－12)＝－12，所以m＝32.•6．如图所示，P为圆M(x－3)2＋y2＝1上的动点，Q为抛物线y2＝x上的动点，试求|PQ|的最小值．•[解析]如图所示，连结PM，QM，QM交圆M于R，设点Q坐标为(x，y)，∵|PQ|＋|PM|≥|QR|＋|RM|，∴|PQ|≥|QR|，∵|PQ|min＝|QR|min＝|QM|min－1.∵|QM|＝x－32＋y2＝x2－5x＋9＝x－522＋114≥112，∴当x＝52时，|PQ|min＝|QM|min－1＝112－1，即|PQ|的最小值为112－1.课堂典例讲练•由抛物线的几何性质求标准方程抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[分析]解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[解析]椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，求它的标准方程．[解析]∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，∴可设它的标准方程为x2＝－2py(p0)．又∵点M在抛物线上，∴(3)2＝－2p×(－23)，解得p＝34.故所求方程是x2＝－32y.•抛物线的几何性质的应用正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长．[解析]如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2，又|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0，∵x10，x20,2p0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan30°＝33，而y21＝2px1，∴y1＝23p，于是|AB|＝2y1＝43p.•[点评]本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．若将本例改为直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．•[解析]如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，则OB边的方程为y＝－12x.由y＝2xy2＝2px得A点坐标为(p2，p)，由y＝－12xy2＝2px得B点坐标为(8p，－4p)．∵|AB|＝53，∴p＋4p2＋p2－8p2＝53.∵p0，解得p＝23913.∴所求抛物线方程为y2＝43913x.易错疑难辨析若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()A．a0B．0a≤1C．a≤1D．a≤0•[误解]D设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，•则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2•＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)．•∴当点A(0，a)在y轴的负半轴上，即a≤0时，|PA|2取最小值，故选D.•[正解]C设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，•则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2•＝y2－(2a－2)y＋a2•＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)．•∵y∈[0，＋∞)，根据题意知，(1)当a－1≤0，即a≤1，y＝0时，d2min＝a2.这时dmin＝|a|.(2)当a－10，即a1时，y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意．综上可知a≤1.思想方法技巧分类讨论思想已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解析]联立直线l与抛物线方程得方程组y＝kx＋1y2＝2x，可得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.(*)(1)当k＝0时，由方程(*)得x＝12，代入y＝kx＋1得y＝1.这时直线l与抛物线只有一个公共点(12，1)．(2)当k≠0时，方程(*)的判别式为Δ＝4(1－2k)．当Δ＝0，即k＝12时，方程(*)有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．当Δ0，且k≠0，即k12且k≠0时，方程(*)有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点．当Δ0且k≠0，即k12时，方程(*)没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点．综上可得：当k＝0或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k12且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k12时，直线l与抛物线没有公共点．•[点评]设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.•(1)若a≠0，•当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；•当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；•当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(3)若直线l与抛物线有两交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.课后强化作业（点此链接）