高数函数与极限习题

第一章函数与极限习题课一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念函数的定义函数的性质奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数1.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数数列极限函数极限axnnlimAxfx)(limAxfxx)(lim0左右极限极限存在的充要条件无穷大)(limxf两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小0)(limxf判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限1、极限的定义：定义N定义定义X单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限(1)1sinlim0xxx(1)1sinlim0xxx;1sinlim某过程(2)exxx)11(lim(2)exxx)11(limexxx10)1(lim.)1(lim1e某过程7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx左右连续连续的充要条件间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类在区间[a,b]上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的性质1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn求时当解将分子、分母同乘以因子(1-x),则xxxxxxnn1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn1)1)(1(lim22xxnn11lim12.11x.)0lim,1(12nxxn时当例.)sin1tan1(lim310xxxx求310)]1sin1tan1(1[limxxxx原式310]sin1sintan1[limxxxxx301sin1sintanlimxxxxx301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2021.21e原式解例).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多项式设解,2)(lim23xxxpx),(2)(23为待定系数其中可设babaxxxxp,1)(lim0xxpx又)0(~2)(23xxbaxxxxp.1,0ab从而得xxxxp232)(故例6.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf解改写成将)(xf1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续在显然xf,1时当x)(lim1xfx)1(lim1xx.2)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断在故xxf,1时当x)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim1xfx)1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(连续在故xxf.),1()1,()(连续在xf例).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF),0()21()0(ffF),21()1()21(ffF讨论:,0)0(F若,0则);0()210(ff,0)21(F若,21则);21()2121(ff则若,0)21(,0)0(FF)21()0(FF2)]0()21([ff.0由零点定理知,.0)(),21,0(F使.)()21(成立即ff综上,],1,0[]21,0[必有一点.)()21(成立使ff例)0()(21,011axaxxxnnn有极限证明设证0nx显然axaxxnnn)(211)(211nnnnxxaxx0212nnxxa即xn单调减，有下界故由单调有界原理得存在nnxlim0limAAxnn，则设两边取极限得在)(211nnnxaxx)(21AaAA（舍去）解得aAaA,例求)1ln()cos1(1cossinlim20xxxxxx解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0原式120121例求131)1()1()1)(1(limnnxxxxx解1xu令ux1则得由uu~1)1(130)11()11)(11(limnnuuuuuI1013121limnuuunuu!1n例.求极限)0(,2cos2cos2coslim2xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2原式解nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211nnnxx2sin2sinlimnnnxxxx2sin2limsinxxsin例ccxcxxx，求设4lim解一xxxxcxccxcx21limlimccccxxcxccxc2121lim22ce242ln22c2lnc得解二xxxxxxcxccxcx11limlimcceece2例证明1limnnn证1nn首先nnhn1记22!2)1(1)1(nnnnhnnnhhn2!2)1(1nhnnnhn202由夹逼定理知0limnnh1limnnn例1,0)1)(()(,xxxaxbxxfba，有可去间断点间断点有无穷的值，使确定解因f(x)在x=0处为无穷间断，即)(lim0xfxbxxaxxfxx)1)((lim)(1lim000bxaxx0lim0,0ba又x=1为可去间断，存在故)(lim1xfx)(lim11bxbx)]1)(()([lim1xaxxfx)1)((lim)(lim11xaxxfxx01b例)(lim,2112sin)(1lim030xfexxfxxx求已知解2112sin)(1lim30xxexxf由0)1(lim30xxe而)12sin)(1(lim0xxfx)1(112sin)(1lim330xxxeexxf02012sin)(1lim0xxfx02sin)(lim0xxfx从而由等价无穷小的代换性质得112sin)(1lim230xxexxfxxxfx32sin)(21lim0xxxfx22sin)(lim310122sinlim0xxx由6)(lim)(lim00xfxfxx存在，且例利用介值定理证明，当n为奇数时，方程)0(,001110aaxaxaxannnn至少有一实根证,0)(1110nnnnaxaxaxaxf令nxxxf)(lim)(lim1110nnnnxxaxaxaa00a故由函数极限的保号性质可知时使当00||,0XxX同号，与0)(axxfn同号与时，亦即，当nxaxfXx00)(||又n是奇数，所以异号与nnXaXa)2()2(00000)2()2(00XfXf上连续在而]2,2[)(00XXxf故由零点定理知0)()2,2(00fXX，使至少有一实根即01110nnnnaxaxaxa和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]积化和差sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2