振动力学答案

请打双面习题与综合训练第一章2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则=设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率2-2一均质等直杆，长为l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角＝h2F＝mg由动量矩定理：其中2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为，，2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是mgk324mghEJk324EJhmxkx3n24mhEJp2aahamgamgFaMmlIMI822cossin1212212cossinhlgaphamgmln22222304121ghalgahlpTn3π23π2π2221k3k21211kkkkk212132kkkkkk4241213231421432421kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)(42412132314214324212kkkkkkkkkkmkkkkkkkkkp1J2J3JFsin2FhmgF三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解：（1）（2）（3）（4）2-5如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-6如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以，取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由，111/lGJk222/lGJk333/lGJk)/(23323223lJlJJGJk)(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312lJlJIllJJlJJlJJGPIkkPnn知）由（2m2222222212121212121RxIrxrmxmxmT2222112121xkRxRkU22211222212121214321xkRRkxRImmUTE0230dd22112221xxkRRkxxRImmtEx02322112221xkRRkxRImm2221221123RImmkRRkp0I)sin(tpn22212)(21)(2121lmamITO)cos(tppnn222222122max212121lpapmpITnnnO321,,0)(FmO（A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由，得所以，有2-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又＝c=6.9Ns/m，2-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当n＝pn时，c＝cC2-9如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：02233111lkbkgamakagmlkbkakV1222222323321211])[(21])[(21])[(21222223221max212121lkbkakVmaxmaxVT222222122212121lpapmpInnnO222223221212121lkbkak22212223212lmamIlkbkakpOnntXAe200.640.16nTdeln420Tdn215TTd2222ln44()20nnPN10nstgPgd2ln4()20n224100gN32cmklac222n3mlkap0220aklcImcnmlkapmlkamcmlIn32303312222220323232mklampnmcnCOmgXOYOFKFC2-10如题2-10图所示，质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有++x=0其特征方程为：+r+=0r=-0.494.875i所以：x=cos4.875t+sin4.875t由于npn，由已知条件，，，，m/s。故通解为其中，。（代入初始条件，当t=0时，x=0,=0当t=0时，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006(-0.49)sin4.875t+0.0064.875cos4.875当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0.005m）代入初始条件，得，得物体达到最大振幅时，有既得t=0.30s时，物体最大振幅为cm2-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：，，；三个方程联立，解得：222222222222222224222242224202224142nnncdnIkbbcaamlkbcakbcamlmlkbpmlbkplcanmlnpcabkmllblcmkakbcappnmlmlkmblcamlm当时m022xpxnxnxcmxkm2r196020004802020001c0.49te2c0.49te49.02000219602mcn01.242000480202mkpn00x03.00x)sincos(21tpCtpCexddnt875.422nppnd1cx2c0.49tex0.49tex006.0,0000201ddpxpxnxCxCtpeCxdntsin20cossin22tppeCtpenCxddntdnt528.0)3.0875.4sin(006.03.049.0exdpmnp221nmp22nppndnpn22222mdmdpp2m2n2dpp2221222dmmdddndpppppnT习题与综合训练第二章2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由又有所以x＝1.103cos(3t－5127)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以①又由当②①与②联立解出m＝20.69kgk＝744.84N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：12.41iiAAttF3cos360)(tmxnxpxn3cos36022)3cos(tBxmkBBB45.03604)1(022220222122tgnpndnTiiAAe2.41489.3π2797.0ln8.1lndddddTpTnTnT22nppnd579.3222ndnpnpp45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222Bpnpnn6186.52mkpnmkpn1mk686.512mkpnst222()sinsin()sin()stQWWkxwewtxggWQxkxwewtggkgQxxwewtWW又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。题2-4图解：选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则即即（*）改成，下面也都一样利用复数求解，用代换sinwt并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。代入方程（*）得其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有=。其中2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。题2-5图解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，（A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到（B）（C）联立解得，所以，n=0，得，2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分2nkgPWQhweWststWWkk即22222()nststhBPWweBWgw将结果代入得：Q=tFtFsin)(0taxscos0sx()()smxkxxpt()smxkxkxpt0cossinmxkxkawtpwt0p0Fjwte()jwtxtBe02jpjkaBBekmw22022pkaBBkmwkmw2220420222422022222242211nnnnppapapkapmmmpwp2202211pak2002kakakmwtgppkmw0kaarctgp2202201()sinsinarc1pkaxtBwtawttgkp,nnwkppmtFsin021xxxtPxkxksin0221122xkxmtPkkkxkkkkxmsin02122121tPmkkkxmkkkkxsin)()(02122121)(2121kkmkk