振动和波动习题课

一、谐振子1、运动学特征：002()cos()cos()(1)xtAtAtTA：振幅T:周期T2：圆频率0:初相,t＝0时刻的位相。0()t:相位，它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。振动由（1）：)2()sin(0tAdtdxv(3))t02cos(Adtdvaxa20xdtxd222（弹簧振子：）mk22、动力学特征212mvEk212kxEp2020202020vxkmvxA0求出A后，再作旋转矢量图，由x0、v0画出旋转矢量的位置而求出初位相动能:势能:221kAEEEpk总能量:动能和势能的变化频率是振动频率的两倍22020212121kAkxmvE0已知简谐振动的初始条件(x0、v0)，求A和二、简谐振动的能量1、2象限v0;3、4象限v0三、简谐振动的旋转矢量法（重点）’xO#逆时针旋转为正角。#顺时针旋转为负角。旋转矢量的端点在X轴上的投影点作简谐振动0A0XOX1A2AOX2AO1A反相同相X1A2AO振动2比振动1超前0t,2,1,021020kk1）（21AAA振动加强;有0=10=20X1A2AA,2,1,0)12(1020kk2）（||21AAA振动减弱2A1AXA与振幅大的分振动的初相相同)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA2021012021010coscossinsinAAAAtg)(20100之间、必在四、同方向、同频率的谐振动合成仍是谐振动例题1：一质点作简谐振动，=4rad/s,振幅A=2cm.当t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴正方向运动,求振动表达式.AB012Ox解:用旋转矢量图法求解作半径为2cm的圆,由t=0时,质点位于x=1cm处,并且向x轴正方向运动得:初始时刻旋转矢量端点位于图中B处,故初相为:032cos(4)()3xtcm例题2：一质点作周期为T的简谐振动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为A）T/2（B）T/4C)T/8（D）T/12解:用矢量图法求解A/2AOM=t=/6=2/Tt=T/12Nx例3.一物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为－12cm且向x轴负方向运动，求1)简谐振动方程2)物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时间.解:1)A=0.24m,T=4s,=2/T=/200cos()0.24cos()()2xAttm)m()32t2cos(24.0x用旋转矢量法求0作半径为A=0.24m的参考圆对应于x＝－0.12m、V＜0的振动状态为图中a，相应的初相为0＝2/3a0v0v0-0.24-0.120x振幅为24cm，周期为4s，当t=0时，位移为－12cm且向x轴负方向运动，由于求的是从a状态运动到x=0处所需的最小时间，所以末状态应选b;2)如图所示，对应于x=0，在图中有b、c两个可能的状态.由图可得，初、末两状态位相差为△=5π/6，故tmin＝△/ω=5/3（s).a-0.240xbc物体由起始位置运动到x=0处所需的最短时间.例题4一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的A）1/4B）3/4C）1/16D）15/16解：总总总EEEEEkAkxEAxpkp1615161161212141225.一弹簧振子，弹簧的倔强系数为0.32N/m，重物的质量为0.02kg，则这个系统的固有频率为________,相应的振动周期为_________。解：Hzmkmk64.02125.02T6.一质点作简谐振动，速度的最大值Vm=5cm/s,振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,求振动表达式。cmtx)225cos(2解：Ot=055/2mVArads02cos()xt27.一简谐振动曲线如图所示，试由图确定在t=2s时刻质点的位移为，速度为。t=2s,x=022A310TmVA8.已知两个简谐振动曲线如图所示，X1的位相比X2的位相2121A)落后B)超前C)落后D)超前√9.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的周期。xt5-A/2-A解：Ot=0t=5=/3+/2=5/6=2/TT=12st=5=5/6=/610.一质点作简谐振动，其振动方程为（SI）试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到x=-0.12m,v0的状态所经过的最短时间.)31t21cos(24.0xtO31-0.120.24)(323stt解：t=0解:用矢量图法-2O-1t=032x(cm)t(s)1-1-20设振动方程为x=Acos(t+)32x1)的确定11.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒，求此简谐振动的方程。-2Ot=0-1t=1cmtx)3234cos(23434tt(s)-2x(cm)1-102)的确定x=Acos(t+2/3)3412.用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速度---时间关系曲线如图所示，求振动的初相位。v(m/s)t(s)-vm-0.5vm0v(m/s)t(s)-vm-0.5vm0)2tcos(v)tsin(Av)tcos(Axm632mv21v,0t322Omvmv21v13.一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数表达振动时，初相位为零。在范围内，系统在t=_________时动能和势能相等。Tt210T/8或3T/8解：tsinkA21EtcoskA21kx21EtcosAx22k222p8T3or8Tt43or4tT21ttg1ttgEE2kp14.一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：)314cos(10521tx（SI）（SI）)614sin(10322tx画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.)32t4cos(103)2161t4cos(103)61t4sin(103x22222O)314cos(10521tx1)314cos(102221txxx一、描述波动的物理量2、波长3、波速4、波速u与l、T的关系：Tul二、平面简谐波波动方程振源(或参考点)：1、周期和频率（由振源决定，与介质无关）波动0cos()yAt以振源(或参考点)为原点，00cos[()]cos[2()]xtxyAtAuTl波沿x轴负向传播：00cos[()]cos[2()]xtxyAtAuTl波沿x轴正向传播：三、描述波动的方法1、数学表示法：（波动方程）★2、几何表示法：波线、波面、波前3、图线表示法：y～t、y～x四、波的干涉1、相干条件：频率相同、振动方向相同、恒定位相差。2、干涉加强、减弱条件：])rt(2cos[Ay1111l])rt(2cos[Ay2222lcosAA2AAA212221)rr(2)(2112lll2rr2,1212时当2121AAA2)1k2(AAAk减弱加强ll3、驻波)rt(2cosAy11l)rt(2cosAy22lt2cosx2cosA2yyy21lA例题1.图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,波的振幅为0.2m,周期为4s,波长为1m,求1）波动方程2）图中P点处质点的振动方程xyoAP传播方向XyoA传播方向解1）已知A=0.2m,T=4s,l=1mO点振动方程为：)t2cos(2.0yy2t=0时，y=0，v00.2cos()22yt0.2cos(2)()22ytxmXyoAP传播方向2)P点的振动方程x=0.5m代入)m)(2t2cos(2.0)2t2cos(2.0y)222cos(2.0xty得：例题2.一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿x轴负方向传播,t=2s时刻的波形如图所示,求波动方程.x(m)y(m)o0.512uy(m)0.5x(m)o12u由图可得:l=2m,A=0.5m=2=2u/l=/200.5cos()2yt解：设O点的振动方程：y0.5cos()22yt得：)m)(2xt2cos(5.0y波动方程为:02例题3.位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，设A、B点的振动方程:)cos(tAyA在X轴上A、B点发出的行波传到P(x),引起P点振动，振动方程分别为：2cos()APxyAtl)0cos(tAyBBAX()Pxm30x30O2(30)cos[]BPxyAtl2(30)cos[]BPxyAtl两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：BAXxm30x30O22(30)()[](21)xxttkll,...2,1,0k302xkl化简后2cos()APxyAtl302xklmu4l因为：1520,1,2,...xkkmx29,27,25,......9,7,5,3,1BAXxm30x30O1,3,5,7,9,11,13,1529,27,25,23,21,19,17,15xx思考：A、B两处的波在AB间相向传播形成驻波，A、B处分别为波腹，则波节的位置分别为：152ABnnl4.图为沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形。若波动方程以余弦函数表示，求O点处质点振动的初相位。解:yot=02t=0,x=0,y=0,dy/dt0xyo5.频率为100Hz,传播速率为300m/s的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为/3，则此两点相距A）2mB)2.19mC)0.5mD）28.6m3x2l解:)m(5.0u616xl在时刻与两点处质点速度之比是A)1B)-1C)3D)1/36.一平面简谐波的波动方程为解:4/2lx4/31lx)/(2coslxtAy/1t)/xt(2sinA2dtdyVl)/x1(2sinA21tl1)2/3sin()2/sin()/x1(2sin)/x1(2sinVV2121ll7.当一平面简谐机械波在弹性媒体中传播时下述结论哪个正确？A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒.B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同.D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大.C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同.8.如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求该波的波动方程.X(m)Y(m)o-APA22100解:=2=500l=200m轴传播XPx(m)y(