第7章 最优控制原理

本章简介(1/1)本章简介本章讨论最优控制问题初步,目的是使读者掌握求解最优控制问题的主要理论和方法,能对一些常见的最优控制问题进行有效的分析和求解。主要内容包括泛函基础、变分法和极大值原理、线性二次型最优控制问题,以及离散系统的最优控制问题。本章最后介绍基于Matlab的线性系统的线性二次型最优控制系统的设计计算与运动仿真问题的程序设计与仿真计算。目录(1/1)目录7.1最优控制概述7.2变分法7.3变分法在最优控制中的应用7.4极大值原理7.5线性二次型最优控制7.6动态规划与离散系统最优控制7.7Matlab问题本章小结最优控制概述(1/1)最优控制概述从20世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控制是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不可分。下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,然后讨论最优控制问题的描述及数学表达。内容为最优控制问题的提出最优控制问题的描述最优控制发展简史最优控制问题的提出(1/1)7.1.1最优控制问题的提出考虑下面几个实际最优控制问题的例子。飞船的月球软着陆问题间歇化学反应器的最大产量控制问题连续搅拌槽的温度控制问题飞船的月球软着陆问题(1/3)1)飞船的月球软着陆问题飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力,以控制飞船实现软着陆,即落到月球时的速度为零。问题要求选择发动机推力程序,使飞船携带的燃料最少或着陆时间最短(最速升降问题)。设飞船的质量为,高度和垂直速度分别为和,月球的重力加速度可视为常数,飞船的自身质量及所携带的燃料分别为和。若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程,由牛顿第二定理和物料(燃料)平衡关系可知,飞船的运动方程为0kkfmgmfvvh飞船的月球软着陆问题(2/3)要求控制飞船从初始状态h(0)=h0,v(0)=v0,m(0)=M+F出发,在某一末态时刻tf实现软着陆,即h(tf)=0,v(tf)=0控制过程中,推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax,即-fmaxf(t)fmax满足上述约束条件,使飞船实现软着陆的推力程序并非一种,其中消耗燃料最少的称为燃料控制问题,着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题。飞船的月球软着陆问题(3/3)这两个问题可归结为分别求J1=m(tf)J2=m(tf)为最小的数学问题。间歇化学反应器的最大产量控制问题(1/3)2)间歇化学反应器的最大产量控制问题设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应式中,k1(t)和k2(t)为反应速率常数,并与温度T满足如下关系该化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物B的产量尽可能大,因而要求防止后面的反应继续进行下去。CBATkTk)()(212,1exp)(01iRTEATkii间歇化学反应器的最大产量控制问题(2/3)为更清楚地讨论上述产量最大的控制问题,设化学反应式的第一步反应是二级反应,第二步反应是一级反应。这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程式中,C1(t)和C2(t)分别是物质A和B的浓度。将反应速率常数k1(t)和k2(t)代入上式,则有设反应时间区间[t0,tf],反应器内温度T(t)满足T*T(t)T*t0ttf21111022112220()()()()1.0()()()()()()0CtkTCtCtCtkTCtkTCtCt2,1exp)(01iRTEATkii间歇化学反应器的最大产量控制问题(3/3)该问题的目标是确定反应器内温度T(t)应该如何变化,才能使在时刻tf时B物质的产量C2(tf)为最大,即归结到在约束条件下,求J=C2(tf)最大的数学问题。连续搅拌槽的温度控制问题(1/2)3)连续搅拌槽的温度控制问题设有一盛液体的连续搅拌槽,如图7-1所示。槽内开始装有0oC的液体,现需将其温度经1小时后升高到40oC。图7-1连续搅拌槽示意图为此在入口处以常速流入温度为u(t)的液体,经槽内不停转动的搅拌器使槽内液体温度均衡上升。在出口处,设流出的液体保持槽内液面恒定,其温度与槽内液体一致。试寻找u(t)的变化规律,使槽中液体的温度经1小时后上升到40oC,并要求所散失的热量最少。连续搅拌槽的温度控制问题(2/2)因假定槽内液体温度均衡,设为x(t)。由题设条件可知,x(t)的边界条件为x(0)=0oC,x(1)=40oC由热力学知识可知,槽内的液体温度的变化率与温差[u(t)-x(t)]成正比,即式中,k1为比例系数。我们的目标是确定流入的液体的温度u(t)如何变化,使得散失的热量最少,即归结为在上述状态方程和边界条件下,求函数最小的数学问题。1()[()()],()0,(1)40xtkutxtxtxC102322d)]()([ttuktxkJ最优控制问题的描述(1/1)7.1.2最优控制问题的描述从前面的应用实例可以看出,最优控制问题可以抽象成共同的数学问题描述,这将给最优控制理论的研究带来方便。所谓最优控制问题的描述,就是将通常的最优控制问题抽象成一个统一描述的数学问题,并用数学语言严格地表述出来。最优控制问题的描述包括:被控系统的数学模型目标集容许控制性能指标最优控制问题的描述被控系统的数学模型(1/2)1.被控系统的数学模型前面讨论的飞船控制系统和搅拌槽温度系统都是非线性系统,所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达式。因此,对一般被控系统的最优控制问题,其数学模型可以用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述:式中,x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量;f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性函数向量。),,(),,(ttuxgyuxfx被控系统的数学模型(2/2)对许多实际被控系统,在一定精度范围内,其最优控制问题中的数学模型也可以分别采用线性定常系统、线性时变系统和非线性定常系统的状态空间表达式来描述。目标集(1/3)2.目标集动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个状态的转移,这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统状态的运动。在最优控制问题中,系统运动的初始状态(称初态)通常是已知的,即x(t0)=x0为已知,而所要达到的最终状态(称末态)是控制所要求达到的目标。目标集(2/3)因问题而异,末态可以是状态空间的一个点,更为一般的情况是末态要落在事先规定的范围内,如要求末态满足如下约束条件g1(x(tf),tf)=0g2(x(tf),tf)0式中,g1(x(tf),tf)和g2(x(tf),tf)为关于末态时刻tf和末态状态x(tf)的非线性向量函数。上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。实际上,该末态约束条件规定了状态空间中的一个时变的或时不变的集合,此种满足末态约束的状态集合称为目标集,记为M,并可表示为M={x(tf):x(tf)Rn,g1(x(tf),tf)=0,g2(x(tf),tf)0}目标集(3/3)需要指出的是,有些最优控制问题并没有对末态加以约束,则该问题的目标集为整个状态空间Rn,但此时并不意味着对末态没有要求,系统还可以通过下面要介绍的性能指标等约束末态。至于末态时刻tf,它可以事先规定,也可以由对末态的约束条件和性能指标等约束。容许控制(1/1)3.容许控制输入向量u(t)的各个分量ui(t)往往是具有不同的物理属性和意义的控制量,在实际系统中,大多数控制量受客观条件的限制,只能在一定范围内取值。如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制;又如在控制量为开关量的控制系统中,输入仅能取有限的几个值,如-1,+1。由控制量约束条件所规定的点集称为控制域,并记为U。凡在闭区间[t0,tf]上有定义,且在控制域U内取值的每一个控制函数u(t)称为容许控制,并记为u(t)U。通常假定容许控制u(t)是一个有界连续函数或者是分段连续函数。性能指标(1/3)4.性能指标从前面的应用实例可以看出,最优控制问题最后归结到从所有容许控制中找出一种效果最好的控制律,这就需要一个能衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数。例如,飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态的时间最短,而连续搅拌槽系统的性能指标为一个带函数积分的指标,需求其最小。由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。性能指标(2/3)一般形式的性能指标为式中,右边第1项称为末态性能指标,体现了对末态的要求;第2项称为积分性能指标,体现了对系统状态变化过程中的状态x(t)和u(t)的要求。在通常情况下,可将各种不同的性能指标视为一般形式的性能指标的一种特例。如飞船控制系统的性能指标可以视为当S(x(tf),tf)=m(tf)L(x,u,t)=0时上述一般形式性能指标的一个特例。fttffttttLttSJ0d)),(),(()),((uxx性能指标(3/3)性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评价函数等。最优控制问题的描述(1/2)5.最优控制问题的描述总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及性能指标,则最优控制问题的描述可叙述为:已知被控系统的状态方程及给定的初态为规定的末态目标集为M={x(tf):x(tf)Rn,g1(x(tf),tf)=0,g2(x(tf),tf)0}求一容许控制u(t)U,t[t0,tf],使被控系统由给定的初态x0出发,在tft0时刻转移到目标集M,并使如下性能指标为最小00()((),(),),()tttttxfxuxxfttffttttLttSJ0d)),(),(()),((uxx最优控制问题的描述(2/2)值得注意的是,所谓的“最优性”,是指被控系统相对于性能指标函数意义下的最优性。不同的性能指标函数,最优控制结果是不相同的。最优控制发展简史(1/5)7.1.3最优控制发展简史20世纪50年代,随着现代化生产的发展,特别是空间技术的发展,被控系统日趋复杂,对自动控制提出的要求愈来愈高。于是,那种建立在传递函数、频率特性基础上的经典控制理论,日益暴露出它的局限性。主要表现在:首先,它只适用于集中参数的SISO线性定常系统,且只适应于以解决伺服系统稳定性为主要目标的设计问题,难以适应综合性能指标设计控制系统的要求。再者,在应用经典控制理论设计时,需要凭经验试凑及大量手工计算,难以用来解决复杂问题。最优控制发展简史(2/5)现代化生产的发展使系统所要求的品质指标,如时间、成本或综合性能指标,取极值直至最优的控制方法成为控制理论与工程的关键问题。现代控制理论能处理的问题的范围很广。原则上,它可以用来处理时变系统、非线性系统、MIMO系统以及分布参数系统的问题。用它来处理随机系统和离散系统问题同样是很方便的。最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分,同样,它能处理的控制问题的范围也非常广泛。最优控制发展简史(3/5)早在20世纪50年代初期,就发表了用工程观点研究最短时间控制问题的文章,为最优控制理论的发展提供了第一批实际模型。由于最优控制问题的严格数学表述形式的建立,更因为空间技术的迫切需要,从而引起了一大批数学家的注意。人们发现,最优控制问题从本质上来说是一个变分学问题。然而,经典变分学只能解决其容许控制为开集约束的最优控制问题,而更多的实际系统的容许控制属于闭集。这就要求人们建立求解最优控制问题的新途径。在种种新方法中,有两种方法最富有成效。最优控制发展简史(4/5)一种是前苏联著名数学家庞特里亚金提出的“极大值原理”;另一种是美国数学家贝尔曼的“动态规划”。