第7章 空间解析几何

第七章空间解析几何简介第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标二、空间两点间的距离四、小结三、空间曲面方程平面直角坐标y纵轴z纵轴原点o平面直角坐标系一个原点;两条坐标轴；四个象限；点←→（x,y）平面曲线y=f(x)F(x,y)=0(planerectangularcoordinatessystem)一、空间直角坐标x横轴y纵轴z竖轴原点o空间直角坐标系一个原点;三条坐标轴(正方向符合右手法则);三个平面:XOY平面;XOZ平面;YOZ平面;八个卦限:(spacerectangularcoordinatessystem)(abscissaaxis)(ordinateaxis)(origin)(verticalaxis)ⅦxyozxOy面yOz面zOx面空间被分为八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点三元有序数组),,(zyx一一对应特殊点的表示:)0,0,0(O坐标原点),,(zyxMxyzO)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),0,(zxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C0y5y平面直角坐标系中代表？空间直角坐标系中代表？x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0x0,y0,z0八个卦限中点的坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ卦限点的坐标()zyx,,卦限点的坐标()zyx,,xyzO1MPNQR2M?21MMd222212dMPPNNM二、空间两点间的距离设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点）（112,,zyx）（122,,zyx22212212121MMxxyyzz,121xxPM,12yyPN,122zzNM22221NMPNPMd22212212121MMxxyyzz空间两点间距离公式点到原点的距离为:(,,)Mxyz)0,0,0(OOMd则222xyz例1求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解221MM,14)12()31()47(222232MM,6)23()12()75(222213MM,6)31()23()54(22232MM,13MM原结论成立.n维空间niRxxxxRinn,,2,1,,,,21表示为：称n元有序实数组的全体构成的集合为n维空间.),,,(21nxxxn维空间中两点间的距离注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间两点间的距离.2222211)()()(nnxyxyxyPQ其中，点为),,,(21nxxxP),,,(21nyyyQ和例建立空间的球面方程。解：设球心为P0(x0,y0,z0),半径为R。设球面上任意一点P(x,y,z)。RPP||0220||RPP2202020)()()(Rzzyyxx特别，建立球心在原点的空间球面方程。2222Rzyx2222--yxRz222--yxRz222---yxRz上半个球面下半个球面三、空间曲面方程0),,(zyxF0-)()()(2202020Rzzyyxx例如：球面方程),(yxfz或202020)()(yyxxRzz例如：上半球面方程空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（一点、三轴、三面、八卦限）三、小结21221221221zzyyxxMM空间曲面方程思考题在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,)3,2,1(A,)4,3,2(B,)4,3,2(C.)1,3,2(D思考题解答AⅣ;BⅤ;CⅧ;DⅢ.一、1.Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；2.(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；练习题答案第二节曲面及其方程二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。讨论二次曲面性状的方法：对于给定曲面方程F(x,y,z)=0,利用“截痕法”大致的画出它的图形用坐标面或平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．截痕法(methodofsections)二次曲面截痕法(methodofsections)使用例如球面方程2222Rzyx首先我们用一组平行于oxy坐标平面的平面z=h去截割，当|h|R时，截痕是圆周。hzhRyxhzRzyx22222222同理，我们用平行于xoz和yoz坐标平面的平面x=h,y=h去截割，当|h|R时，截痕都是圆周。ozyx1.椭球面(Ellipsoid)1222222czbyax椭球面与三个坐标面的交线：,012222yczax.012222xczby,012222zbyax椭球面的几种特殊情况：,)1(ba1222222czayax旋转椭球面12222czax由xoz平面上椭圆绕轴旋转而成．z,x,y,zczayczaxayax01010122222222222212222czay由yoz平面上椭圆绕轴旋转而成．z,)2(cba1222222azayax球面2222xyza方程可写为2.圆锥面222zyx首先我们用一组平行于xoy坐标平面的平面z=h去截割，截痕是hzhyx222当h≠0时，截痕为圆周，半径为|h|,且|h|越大，圆周越大。222zyx其次我们yoz坐标平面x=0去截割，截痕是0022xzyxzy截痕为两条交叉于原点的直线。最后我们xoz坐标平面y=0去截割，截痕是0022yzxyzx截痕为两条交叉于原点的直线。222xyz222yxz类似的进一步的222222czbyax222222byczax222222axbycz为椭圆锥面。形状相同，开口不同播放定义3.柱面(cylinder)平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面。CL这条定曲线C叫柱面的准线(directrix),动直线L叫柱面的母线(generatrix).柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面(Cylinderofthesecondorderparabolic)（1）圆柱面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.222ayx我们用一组平行于xoy坐标平面的平面z=h去截割，不论h=?,截痕均是半径为a的圆周。xyzoolM(x,y,0)（2）椭圆柱面12222byaxoyzxx2=2py（3）抛物柱面22pyx2y2px怎么样？pzx22怎么样？oyzx1方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.2方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0.3方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0.特殊的，方程xy=0母线平行于z轴的柱面,它的准线是xoy面上的直线xy=0,所以它是过z轴的平面.xy=0zxyo（4）某些平面3.椭圆抛物面zbyax2222椭圆抛物面原点叫椭圆抛物面的顶点.首先我们用一组平行于xoy坐标平面的平面z=h去截割，截痕是hzhbyax2222当h0时，截痕椭圆。且当h=0时缩成一点，h越大，椭圆也逐渐变大，当h0时，无截痕。xyzo然后我们用一组平行于xoz坐标平面的平面y=h去截割，截痕是hybhzax2222hxahzby2222同理，zxyo开口向下的椭圆抛物面zbyax-2222zbyax2222ybzax2222xbyaz2222形状相同，都是椭圆抛物面。开口不同，即中心轴不同。（1）开口朝着z轴，中心轴z轴。（2）开口朝着y轴，中心轴y轴。(3)开口朝着x轴，中心轴x轴。特殊地：当时，方程变为bazayax2222旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）xozzax22z22zxy(要记住其特征)zbyax2222双曲抛物面（马鞍面）xyzo(hyperbolicparaboloid)4.双曲抛物面5.双曲面单叶双曲面1222222czbyax(Hyperboloidofonesheet)xyoz双叶双曲面1222222czbyaxxyo(Hyperboloidoftwosheets)曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线)..0),,(zyxF三、小结椭球面、抛物面、双曲面.（熟知常见曲面的特性）思考题1.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy思考题1解答平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线母线平行于z轴的平面方程第三节空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.1.曲线(curve)的一般方程例方程组表示怎样的曲线？01222zzyx交线为oxy平面上的单位圆周.也可表示为021-222zzyx）（空间曲线方程不是唯一的。例1方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆.例2方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程2.曲线的参数方程平面中的参数方程例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．其参数方程为：AMMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程xyzo空间曲线的一般方程、参数方程．三、小结0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx