历年2014-2009全国自考线性代数试题及答案

浙02198#线性代数试卷第1页（共56页）全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（）A.-12B.-6C.6D.122．计算行列式32320200051020203（）A.-180B.-120C.120D.1803．设A=4321，则|2A*|=（）A.-8B.-4C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（）A．2B3C．4D．56．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（）A．A与B相似B．|A|=|B|C．A与B等价D．A与B合同7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（）A．0B．2C．3D．248．若A、B相似，则下列说法错误．．的是（）A．A与B等价B．A与B合同C．|A|=|B|D．A与B有相同特征9．若向量α=(1，-2，1)与β=(2，3，t)正交，则t=（）A．-2B．0C．2D．410．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1l.设A=421023,B=010112，则AB=________.12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.13．三元方程x1+x2+x3=0的结构解是________.14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．16．设A为3阶方阵，特征值分别为-2，21，l，则|5A-1|=_______．17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=________．18．二次型f(x1，x2，x3)=21x-2x1x2+22x-x2x3所对应的矩阵是________.浙02198#线性代数试卷第2页（共56页）19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=321，α2=321，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.20.设α=321，则A=ααT的非零特征值是_____.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算5阶行列式D=200010200000200000201000222.设矩阵X满足方程200010002X010100001=021102341求X.23.求非齐次线性方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的结构解.24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11），α4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A=2135212ba的一个特征向量=（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=32232221422xxxxx为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1+α2，α2+α3也是Ax=0的基础解系.浙02198#线性代数试卷第3页（共56页）全国2011年1月说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量，的内积，E表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=()A．44B．45C．46D．472．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=()A．A+EB．A-EC．-A-ED．-A+E3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=()A．A-1CB-B．CA-1B-1C．B-1A-1CD．CB-1A-14．设A是s×n矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是()A．ATA是s×s对称矩B．ATA=AATC．(ATA)T=AATD．AAT是s×s对称矩阵5．设1，2，3，4，5是四维向量，则()A．l，2，3，4，5一定线性无关B．l，2，3，4，5一定线性相关C．5一定可以由1，2，3，4线性表出D．1一定可以由2，3，4，5线性表出6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则()A．A=0B．A=EC．秩(A)=nD．0秩(A)n7．设矩阵A与B相似，则以下结论不正确．．．的是()A．秩(A)=秩(B)B．A与B等价C．A与B有相同的特征值D．A与B的特征向量一定相同8．设1，2，3为矩阵A=200540093的三个特征值，则123=()A．10B．20C．24D．309．二次型f(x1，x2，x3)=323121232221222xxxxxxxxx的秩为()A．1B．2C．3D．410．设A，B是正定矩阵，则()A．AB一定是正定矩阵B．A+B一定是正定矩阵C．(AB)T一定是正定矩阵D．A-B一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11．设A=1101，k为正整数，则Ak=．12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=4321，则矩阵A=__________．13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________.14．设向量=(6,-2,0,4),=（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=____________.15．实数向量空间V={(x1,x2,…,xn)|3x1+x2+…+xn=0}的维数是_______．16．矩阵A=541420713032的秩=___________.17．设21,是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3217）=_________.浙02198#线性代数试卷第4页（共56页）18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________.19．设P为正交矩阵，若（Px,Py）=8,则（x,y）=_________.20．设f(x1，x2，x3)=31212322212224xxxtxxxx是正定二次型，则t满足_____.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式bacc2c2b2cabb2a2a2cba22．判断矩阵A=7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．23．求向量组1=(1，2，-1，-2),2=(2，5，-6，-5),3=(3，1，1，1),4=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．24．求齐次线性方程组03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系及其结构解．25．求矩阵A=3142281232的特征值和特征向量．26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．f(x1，x2，x3)=32312122216223xxxxxxxx四、证明题(本大题共1小题，6分)27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．浙02198#线性代数试卷第5页（共56页）全国2011年4月高等教育自学考试说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。1.下列等式中，正确的是（）A.2001002001021B.1233693456456C.1051002D.1201200350352.设矩阵A=100220340，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A.3B.2C.1D.03.设向量1=（-1，4），2=（1，-2），3=（3，-8），若有常数a,b使a1-b2-3=0,则（）A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1=（1，2，0），2=（2，4，0），3=（3，6，0），4=（4，9，0）的极大线性无关组为（）A.1，4B.1，3C.1，2D.2，35.下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A.111010001B.200020002C.108010001D.1080180016.设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=0BA0，则C-1是（）A.11B00AB.110BA0C.110AB0D.11A00B7.设A为3阶矩阵，A的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(A*)=（）A.0B.1C.2D.38.设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵114A有一个特征值等于（）A.43B.34C.34D.439.设矩阵A=100212312，则A的对应于特征值=0的特征向量为（）A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）TD.（0，1，1）T10.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.1223B.3336C.0331D.1001二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）浙02198#线性代数试卷第6页（共56页）11.行列式111123149=___________.12.设矩阵A=112231，B=（1，2，3），则BA=___________.13.行列式3040111101005322中第4行各元素的代数余子式之和为___________.14.设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=___________.15.设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为___________.16.设3阶方阵A的行列式|A|=12，则|A3|=___________.17.已知3维向量=（1，-3，3），=（1，0，-1）则+3=___________.18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________.19.设1，2，…，n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=___________.20.二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为___________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知矩阵A=111210101