浦东高中补习班高二数学复数的概念及其表示(学案)

李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育1§1复数的概念及其表示（学案）一、基础知识点1.虚数单位虚数单位为i，规定：i2＝__-1__，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的__运算律__仍然成立.2.复数的概念形如：z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的___实部，记作zRe___，b叫做复数的____虚部，记作zIm______.①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数.在复数范围内，实数可以比较大小，虚数不能比较大小.3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔___dbca____，特别地，a＋bi＝0⇔___0ba___.4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为___共轭复数____，复数z的共轭复数记作__z___.a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．5.复数的表示形式复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立__一一对应__的关系(其中O是坐标原点).（1）复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)一一对应平面向量OZ．代数形式：z＝a＋bi；几何形式：Z(a，b)；OZ.（2）在复平面内，实轴上的点都表示___实数___；虚轴上的点除___原点____外都表示__虚数____.6.复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作___z____或||a＋bi.即||z＝||a＋bi＝r＝__22ba___(r≥0，r∈R).7.复平面上的轨迹（1）复平面上两点之间的距离公式：12dzz；（2）复数形式的直线方程：12zzzz；（3）复数形式的圆的方程：0zz0rr；（4）复数形式的椭圆方程：12122(2)zzzzaazz．二、基础自测1.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育22.a=0是复数z=a+biRba,是纯虚数的条件（必要，充分，充要）3.如果210(7)zaaiaR中（）,Rez=Imz，则a=4.复平面内对应于复数bia和bia（Rba,）的两点的对称关系是_____5.复数6cos6siniz，则||z_____6.在复平面内，O是原点，OA、OC、AB表示的复数分别为i2、i23、i51，那么BC表示的复数为__________．7.若复数immmmz)23(23222是纯虚数，则实数m的值为（）A．1或2B．21或2C．21D．28.若Rx，Ra，且ixxxax22210123，则a.三、典例解析【例1】Rm，m取何值时，复数226(215)3mmzmmim：（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数.【例2】求下列各等式的x，yRyx,：222222(1)()(24)138;(2)()22;(3)(1130)(6)0xyxyiixyxyiixxyyi李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育3【例3】求满足221222log(1)log(3)log(2)log(33),mminnnimn的实数的范围。【例4】设复数Raiaaz213，求a为何值时，表示复数z的点在（1）第二象限；（2）第三象限；（3）实轴上；（4）虚轴上；（5）能否在原点？【例5】平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、i23、i42，试求：（1）AO表示的复数，BC所表示的复数；（2）对角线CA所表示的复数；（3）对角线OB所表示的复数及OB的长度．【例6】已知复数)()4(21Rmimmz和)()sin3(cos22Riz，若21zz，求证：7169．【例7】已知实数a，x，y满足0)(222iyxaxyaa，则点),(yx的轨迹是.李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育4【例8】复数)3(log)33(log222xixxz，设z在复平面上对应的点为Z．（1）求证：复数z不能是纯虚数；（2）若点Z在第三象限内，求x的取值范围；（3）若点Z在直线012yx上，求x的值．【例9】（1）已知复数iz311，iz22，试比较1z和2z的大小；（2）设复数z满足1z=3，指出其在复平面上所对应的几何图形；（3）若复数xixz21，且2z，求实数x的取值范围.【例10】把复数z1与z2所对应的向量OA、OB分别按逆时针方向旋转4和34后，恰重合于向量OM.若iz312,则z1等于多少？李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育5四、巩固练习1.在复平面内，平行四边形ABCD的顶点A、B、C分别对应于复数i21，i2，i21，则顶点D对应的复数为（）A．i21B．i2C．i2D．i212.下面给出四个不等式，其中正确的是（）A．ii23B．|41||32|iiC．42|2|iiD．ii23.复数6cos3siniz，则||z（）A.26B．43C．1D．24.如果复数aiz3满足条件2|2|z，那么实数a的取值范围是（）A.)22,22(B．)2,2(C．)1,1(D．)3,3(5.已知复数)()65(322Rkikkkkz，且0z，则k_______．6.已知12z，则z的最大值为，最小值为.7.已知复数22123(5),1(21)()zaaizaaaiaR，分别对应向量12,()OZOZO为原点若向量121212ZZ(ZZ=z-z)对应的复数为纯虚数，则a的值为.8.下列命题中：（1）在复数集中，任意两个数都不能比较大小；（2）若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；（3）若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；（4）x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3李S老师高二数学复数的概念及其表示新王牌教育69.(2013·陕西)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()A.若||z1－z2＝0，则z1＝z2B.若z1＝z2，则z1＝z2C.若||z1＝||z2，则z1·z1＝z2·z2D.若||z1＝||z2，则z21＝z2210.已知复数(2)xyi(,xyR)的模为3，则yx的最大值是.