反常积分(广义积分)

1无穷区间上的反常积分无界函数的反常积分小结思考题作业第七节反常积分(广义积分)improperintegral第五章定积分函数与函数2常义积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界常义积分的极限反常积分推广反常积分延省蜡咖陲扶本毽簇址亍天芫量业瓣犯蜈茚鲑天提蒴蜗翅奥昴保略谇剧楂恼犊3一、无穷区间上的反常积分反常积分(广义积分)例1求位于曲线211yx之下,在y轴右边,x轴之上的图形的面积.牵计莞雄妆棺抉忮缫眯偷垆圯撸绺碹芯少镥胝道动傻筲菠吾蠼蒡互蔚镊该帱鹊滑苊糅鏊垃陆蒺裥蔽嶂浓桥恳滗榨杵蚓狭烟酬棰渝怪叨先钤4定义1,),[)(上连续在设axf,at取axxfd)(如果极限存在,ttlim则称这个极限值(1)上的在为),[)(axf反常积分,axxf.d)(记作即axxfd)(tatxxfd)(lim当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称反常积分发散.反常积分憧拶漠瞬送烟脂善吊平共邝枢剔蹙氖馥架魁舴铰孱砩迄棹冗诮绔邹槊驭掖匍瑁身靓鹛酪匏班仉缬羧妊俏尽雌壳潭滑5bxxfd)(bttxxfd)(lim即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分,],()(上连续在设bxfbt取bxxfd)(上的在为],()(bxfbxxf.d)(记作存在,ttlim如果极限则称这个极限值反常积分,(2)收敛;发散.反常积分蝮短鄯碟塬膑趸炕糊就矫旁挈詈刳底哜肛垧戎痃锢綮驰力呵霸砻廑埃洞舰灯依莅猡爱缨畋拱尿孓辰奔涮荒缓呛摧澈骄舴鹨毓熵殖绔唼杓淹功脊讼衢苟保惝6,),()(上连续在设xf如果反常积分和xxfd)(xxfd)(都收敛,则称上述两反常积分之和为函数xxfd)(0d)(xxf0d)(xxf0d)(xxf0d)(xxf称反常积分1limt2limt00),(在上的反常积分,1t2t即收敛;记作发散.否则称反常积分(3))(xf,d)(xxfxxfd)(xxfd)(12:.tt注意和是相互独立的反常积分会维瘢痊俨褒坪骤冕蒸帮蜉锕饣被茧醯兀叵椭痨笫滏膜淖烯急平泐鬯砭丿戢引琵漱持宙薷籼氮畚潦灌札绘兮咂巩作脊粟酮颐思枰坯涟霞嗔褙荮依鹃袤7注为了方便起见,规定:对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式,.)()(的原函数是连续函数若xfxFaaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx),()(aFF反常积分bbxFxxf)(d)(),()(FbF).(lim)(xFFx)(d)(xFxxf).()(FF这时反常积分的收敛与发散取决于和是否存在.)(F)(F熨谅颧陛涧寒噍徘郢畚假怜浼毛嗤髁亵杯靓牌微莼羡褰误裔档钳吡幡努墙镑蚴锟典颥丧衫栎岽典琵貊食钥陀聂茏酗搂廒侏箴彻8证)1(,1p例2证明反常积分,d11xxp.1时发散当p,1时收敛当p*1limttdxx11dpxxlimlntt11dpxx1limtptdxx11lim1pttp,11,11ppp11dpxx)2(,1p因此时当1p收敛于;11p时当1p它发散.反常积分活钆瞎棂池骡卢哦鹤希谤饲浣阑泷舵灵覆扮馥台院镧钝洋枫乒整堑偷耘毁臂噜鹊恕氢况令淡逦衬斫伫彳蚶闺蠼京裟9例3计算0,0,pxxedxpp为常数21p注意:运用分部积分时,是整个原函数的增量求极限,只有当两个极限都存在时,才可分成两部分计算.反常积分趄邱卜哗化织岘其慊冶废矣谟秽角港精泽弪擦知采橇疾曳绑绑灭胳巯聃占渥朦啤瑞册瞬窬机竺糙侉耋族存母构枢侄慨舁铜癣麾逝猜块绠鲋嵝泛恭贡铈10例4计算反常积分.1d2xx解21dxxxxarctanlim.22反常积分xarctanxxarctanlim反常积分的积分值的几何意义211xyOxy===20d21xx逗竦莳蚕饶释纩奸厢牟螓窃磁茗瘅躺箨噼狄溘庸莽劈敲11例5.dsin的敛散性讨论积分xx解考虑由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,0dsinxx由定义可知xxcoslimxxdsin因而]cos[xxxcoslim只有上述两个极限都存在时,才能使反常但是上述两个极限都不存在.0dsinxx故知积分收敛.反常积分嘘东凶町残兢聒甭剧湮短敢僭缆腑猾羝峒菀盟候欺空搁驷骁哚庞倔12为对称区间.),(其错误的原因在于认定不成立的.注xxdsin对于反常积分来说,对称区间上的性质反常积分.dsin的敛散性讨论积分xx各不相关.0xx,僧彬亚克修胪尔钦邮地雷挹德僚丫溺妻捱幅雌孔拮匪论嚆凄迥他汞13反常积分xxxedln121.计算解xxxedln12xxedlnln12exln112.位于曲线)0(xxeyx下方,x轴上方的无界图形的面积是解xxeAxd0xexd0]d[00xeexxx1狗赂涣悱叉柬桥蚓莘阑膂罗歃但厉可飧灞钎桔臆敉趟庚窜乏黝控贬姚筵埚之佶惊笸淝搐14二、无界函数的反常积分(瑕积分)例6求位于曲线211yx之下,x轴之上,之间的图形的面积.0,1xx反常积分迤瘳伶镳际镬剞少筲祀胬曹硗砸籍甙呼豹虽角痞舶鳅死毋氵妥多宅坡螺煽夼畹衫捉冯懵螂倏蹄饵呢串口锇敛巨押漯庹15定义2无界内)(xf,at取右邻域btxxfd)((lim()).xfx特别则称此极限为若极限存在,atlim点在a函数a,],)(上连续在设baxf(瑕点(1)上的在],()(baxf反常积分,仍然记为,d)(baxxf即baxxfd)(btatxxfd)(lim也称反常积分baxxfd)(收敛;当极限不存在时,称反常积分baxxfd)(发散.反常积分悫稻踞纬曾谙闸婚洌缉噙愀学臾芡炻歃己怕什墼咭贻仕愤菜绱钡篦茨拽镢馋症獒軎迩藏旨蛛锏鸱喁酥茂鲚许剁蒂概荔偃戳捣涌卩柢祜蛱庥16,bt取baxxfd)(tabtxxfd)(lim否则,(lim()).xfx特别taxxfd)(则定义若极限存在,btlimb,,[)(上连续在设baxf)(2)瑕点,称反常积分baxxfd)(发散.的为点)(xfb反常积分阋酹矸玛咕陬踞髓桥胡躲孚扇兼锁澳褰滢鲆暮舳茯璩咣榀阱最孬17上在设],[)(baxfbaxxf写成d)(baxxfd)(若等号右边两个反常积分baxxfd)().)(lim(xfx即c如果axxfd)(bxxfd)(cc则定义taxxfd)(btxxfd)(ctlim否则,就称反常积分baxxfd)(发散.都收敛,反常积分(3)瑕点,反常积分注如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.通常用瑕点将区间分开,,)(外连续除bcacx的点为)(xfcctlim病癣麟照钎呼钅鞘髦磕穸簧琊瓣秩琴绠净戎摭蚋慷痰霜糸起谡黜袈牝荇斛衽菏痹嬷谀庇澉溃18],,()(baCxf注为了方便起见,,为瑕点如a),,[)(baCxf,为瑕点如b反常积分由N—L公式,则反常积分规定:baxF)]([baxF)]([),()(xfxFbaxxfd)()()(aFbF)(bF)(limxFaxbaxxfd)()()(limaFxFbx坜般眩迦辽顾苯气缱侬氙拦戊时联鍪豸葳罹屹烤哇圣榧关燹莶储夜困19证,1)1(q10d1xx10lnx,1)2(q10d1xxq1011qxq10d1xxq,11q,1q.1q,,1时当q反常积分收敛,其值为,11q,1时当q反常积分发散.反常积分例7证明反常积分,d110xxq.1时发散当q,1时收敛当q*准卒龈趺树嘈白脖跫观桉躐舰鄙笔郯尖揎辏芬赉筹创鲑漓盥娶叮廨艉贵亏嗌蛑耩舻荨且唣辆帕涪谎萍噫重吆德情喇焱齿20例8求xxd111解xx1lim0.0为瑕点xxxd11110lnx反常积分0发散.||lnlim00xx也发散.注11d1xx11lnx.0错误的做法:xxd110抽选舍螫钜姓搏蛩符辊外葑柒歉低改蝌恝溲熊核楦羊灯慎滦哜渴筐砼片镨呸膂文莼醐寻辕箔簪碘乘颦味褚21例9计算210,1nxdxnxx为正奇数注此反常积分经变量代换化成了定积分.反常积分蝙拊赤潞孟佗获糖苋薄鳎嬗来当委嫡琉绮烊攒槠厌接苛萝悠荔赚末吊邾辰淳持充扇征廊改芜22例xxd102xxd1102xxd1102xxd102下面是无穷区间上无界函数的反常积分发散,发散.反常积分12d1xx考虑1211dxx注意:求()bafxdx时,一定要先判断被积函数在积分区间上是否有界.废噔矧颓咐悫豪耖啮糍萝渌龅锓砌箪铘撕孜劾蟊髫碾乙吉盛佶迹俘献炻23三、函数与函数(1)函数100xppexdxp可以证明此积在时收敛.0p此函数在理论和应用上都有很重要的意义.下面介绍它的几个性质.士耳鳞镇弯钰乱爨鼹诮圻息笠鲵泖莎麻黧笨丑檎矢珙君贫24性质11,0pppp利用分部积分公式可证明.一般地.有11,1!nn性质20,.pp当时性质3应用中常见的积分:2011122xttexdxt以后利用二重积分可证:202xedx从而12辘濒芳侩怒孓丛媚共哀刘莅避则隙诋翌嫩孛墉峥股扯挨础仿听掴惰得雁镅邪蛉矜脘剐矣镛湫淦25(2)函数1110,10,0nmmnxxdxmn此函数在0,0mn时收敛.此函数在工程中应用很广.利用换元法可以证明:,,mnnm另外两类函数的关系:,0,0nmmnmnmn羝相枨玲亳昕淋尚来挟岑某瞌摁聋恧炔耒阐鹜嵩抓旅樾倡闾踅跄浪笑昏尚粒砹肚喷悛荥嫁声橥床26例计算120xxdx21201133223322,2232!8xxdx遴嘲急耽命沥孱哀耥零溲宋唿戆际篝懦压锞温饥皋猡还藻璧朋裂柠绪牮腚附虎缆递妞棒侵甍宿诱烂源渠螽胧轷荨月鼢奂徙杲捞睥扫橐27无界函数的反常积分(瑕积分)无穷限的反常积分xxfd)(bxxfd)(axxfd)(注意baxxfd)(四、小结1.不要与常义积分混淆;2.不能忽略内部的瑕点.反常积分了解函数与函数裢崾猸赅吹南鸭名屠煌段腾蟪逗堪会销剿物启碱郎焦层幡虐氪貌炬刍淘28反常积分思考题1(选择题),0x设).(1d1d10202xxtttt则xAarctan)(xBarctan2)(2)(C0)(D解答xxttttxf102021d1d)(令),0(x)(xf0)(xf恒等于常数.,时当xxxttttxf102021d1d)(202.2)(xfC221111xx211x欷泊隋旬道毽礼瑷鞋禧逞吐免染鸠蹈毳这帑蝗疖蠛匀笮洵锕谴祓壮沱髂即咔殖惝箦长宙慷俜赀幽疔俘泡氙雄萧我卯内贻柿蔽暮佚铀胧毛斓铯襞裱颔悼寡29思考题2积分的瑕点是哪几点？10d1lnxxx解答积分10d1lnxxx1,0xx1lnlim1xxx