反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

I学号：本科生毕业论文论文题目：反常积分与无穷级数收敛关系的讨论作者：院系：专业：班级：指导教师：2015年5月17日NO.：200X2XX40XXXHuanggangNormalUniversityThesisGraduatesTopic：Author：College：Specialty：Class：Tutor：May17th,2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师的指导下独立研究并完成的.除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.特此郑重声明！指导老师(手写签名)：论文作者(手写签名)：年月日摘要本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法.此外,本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论.最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数AbstractFromthebackgroundoftheimproperintegral,thispaperintroducesthedefinition,propertiesandconvergencecriterion.Inaddition,itdiscussessomesimplyquestionsofimproperdoubleintegral,aswellasasimpleapplicationintherealofimproperintegral.Finally,thepaperalsodescribesthetiesanddifferencesbetweeninfiniteintegralandinfiniteseries.Keywords：improperintegral,mathematicalanalysis,methodofsubstitution,improperdoubleintegral,infiniteseries目录第1章绪论..........................................................................................................................11.1反常积分的背景........................................................................................................11.2反常积分的定义........................................................................................................1第2章反常积分的性质和其收敛判别法..........................................................................32.1反常积分的性质........................................................................................................32.2反常积分的收敛判别方法........................................................................................4第3章反常二重积分的简单讨论......................................................................................63.1反常二重积分的定义................................................................................................63.2反常二重积分的性质................................................................................................7第4章反常积分的计算和收敛性判别的举例..................................................................94.1反常积分的计算和收敛性判别的举例....................................................................94.1.1反常积分的计算举例.....................................................................................94.1.2反常积分的收敛性判别举例.......................................................................114.2反常积分在现实中的简单应用..............................................................................13第5章无穷积分与无穷级数的联系与区别....................................................................155.1无穷级数的简单介绍.............................................................................................155.2无穷积分与无穷级数的联系.................................................................................175.3无穷积分和无穷级数之间的区别.......................................................................20第6章结束语....................................................................................................................21第7章致谢........................................................................................................................22参考文献................................................................................................................................23反常积分与无穷级数收敛关系的讨论[第1页共23页]第1章绪论1.1反常积分的背景Riemann积分要求积分区间],[ba有限且被积函数)(xf在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.首先由一个例子引入：设地球的半径为R,质量为M．根据万有引力定律知,地球对距球心人rR处质量为M物体的引力为：22()/FxmgRx.特别,当rR,Fmg,因而2/GRmg.考虑将质量为M的火箭从地面rR发射到rx引力所作的功.利用微元法,并且由W与F(r)之间有关可得dW=F(r)dr.因此,22()(1/1/)rRWFrdrmgRRx．则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为lim()rRxWFrdrmgR．假设以速度0v发射,它得到的动能为20/2mv．要使它飞出地球引力范围,则必须200/2,11.2/mvmgRvkms．1.2反常积分的定义定义11：设函数定义在无穷区间[,)a上,且在任何有限区间[,]au上可积,如果存在黄冈师范学院本科生毕业论文[第2页共23页]极限uauJdxxf)(lim(11)则称此极限J为函数f在[,)a上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作()aJfxdx,并称()afxdx收敛.如果极限不存在,为方便起见,亦称()afxdx发散.定义2：设函数f定义在(,]ab上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[,](,]ubab上有界且可积,如果存在极限lim()buuafxdxJ,则称此极限为无界函数f在(,]ab上的反常积分,记作()baJfxdx,并称反常积分()bafxdx收敛,如果极限不存在,这时也说反常积分()bafxdx发散.反常积分与无穷级数收敛关系的讨论[第3页共23页]第2章反常积分的收敛判别法2.1反常积分的性质（一）无穷反常积分的性质(1))(xf在区间[,)a上可积,k是常数,则函数()kfx区间[,)a上可积,且()()aakfxdxkfxdx.(2)()fx和()gx在区间[,)a上可积,由此()()fxgx在区间[,)a上可积,且(()())()()aaafxgxdxfxdxgxdx.(3)无穷积分收敛的Cauchy准则:若积分()afxdx收敛，则''''''0,,,()AAAAAfxdx有.（二）瑕积分的性质(1))(xf在区间(,]ab上可积,k是常数,则函数()kfx区间(,]ab上可积,且()()bbaakfxdxkfxdx.(2)()fx和()gx在区间(,]ab上可积，由此()()fxgx在区间(,]ab上可积,且(()())()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx.黄冈师范学院本科生毕业论文[第4页共23页]2.2反常积分的收敛判别方法(一)比较判别法:设在区间[,)a上函数()fx和()gx非负且()()fxgx,又对任何Aa，()fx和()gx在区间[,]aA上可积，若()agxdx，则()afxdx；若()afxdx，则()agxdx.推论1（比较原则的极限形式）:设在区间[,)a上函数()0,()0,lim(()/())xgxfxfxgxc.则i0,()()aacfxdxgxdx则与共敛散;ii,(),()aacgxdxfxdx则时;iii0,(),()aacgxdxfxdx则时推论2（Cauchy判敛法）:以11/pxdx为比较对象,即取()1/pgxx.以下假设0a，若对任何Aa,()[,]fxcaA,0()1/()pafxxfxdx且p1,则；若()1/()pafxxfxdx且p1,则.Cauchy判敛法的极限形式:设()fx是在任何有限区间[,]aA可积的正值函数.且lim()pxxfx.则1)0()1/()pafxxpfxdx且1,则2)()1/()pafxxpfxdx且1,则.反常积分与无穷级数收敛关系的讨论[第5页共23页](二)阿贝尔判别法与狄利克雷判别法:1)阿贝尔