《数学文化》之黄金分割

黄金分割主讲：唐镆涵1235813213455+89？？？CONTENTS1兔子问题2斐波那契数列及其推广3黄金矩形4黄金分割及其应用5优选法1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中收录了一个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下：假设有一对幼生兔子，要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月会生一对兔子，一雌一雄，且所有的兔子都不病不死，那么由一对幼生兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢?规律：1、每个月的小兔子数等于上个月的大兔子数；2、每个月的大兔子数等于上个月的大兔子数加小兔子数；3、每个月的大兔子数都等于上个月的大兔子数和再前一个月大兔子数之和。月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月大兔对数01123581321345589小兔对数1011235813213455兔子对数1123581321345589144一个数列，如果前两项是1，从第三项起每项都等于前两项的和，这个数列就称为斐波那契数列；即1,1,2,3,5,8,13,21，……二阶递推公式5,4,3n12-n1-nn21，，FFFFF4,3,2,aa,a11ndannnnn25-1-25151F黄金比1nnn1-n1388553322111FFFF，，，，，，，，，21,13,8,5,3,2,1,1618.021-5斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列的极限为黄金比的倒数称其为第二黄金比，既有，，，，，，8135835231211618.12151-52618.11-52limn1nnFF斐波那契（L.Fibonacci，1175-1250年）生于意大利的比萨，他小时候对算数很感兴趣。后来，父亲带他出国旅行，到埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等国，这使他又接触到东方许多国家的数学。斐波那契确信印度与阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列之后，并没有进一步探讨此数列，且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。例：1、花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花有3个花瓣，蝴蝶兰、洋紫荆、毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。兰花：3个花瓣黄婵蝴蝶兰洋紫荆毛茛属：5个花瓣万寿菊：13个花瓣2、树杈的数目由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。3、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针和逆时针转的两组对数螺线，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，人们还曾发现过一个更大的向日葵，有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。此外，松果种子的排列、菜花表面排列的螺线数也有类似的规律。这一现象几个世纪前已经被人们注意到，此后曾被广泛研究，但真正令人满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的，相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776°，这使种子的堆积效率达到最高。黄金数给人的这种舒适之感被应用到生活的各个角落，最为巧合的是0.618与大自然的诸多契合令人难以置信。1、养生生命在于运动，动而不衰；可又有人说，生命在于静养，静养得以长寿。从辩证观点看，动和静是一个0.618比例关系。大致四分动，六分静才是最佳的养生之法。饮食专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病，摄入的饮食以六分粗粮、四分精食最为适宜。2、黄金温度人在温度为22°C~24°C时感到最适宜。这是因为人的正常体温37°C与0.618的乘积为22.8°C。在这一温度中，新陈代谢、生理节奏和功能均处于最佳状态。3、为什么秋季是结婚“旺季”？从黄金分割率来看，结婚的最佳季节是一年12个月的0.618处，大约在7月底至8月底。研究表明，秋季是人的免疫力最佳的黄金季节，此时人体血液中淋巴细胞最多，能生成大量抵抗各种微生物的淋巴因子。4、快乐的脑电波二十世纪二十年代，科学家首次发现人脑的电振荡现象，许多生理学家相继发现：当人们精神愉快时，人脑电波频率下限与上限之比恰好是黄金比值。如果这时参加考试或者竞技更能发挥出水平。由此得到启示：美学中的0.618还与人的生理和心理机制存在某种神奇的对应关系。斐波那契数列的递推公式：5,4,3n12-n1-nn21，，FFFFF5,4,3,??2n1-nn21nLLLLL思考：次简单的取1，取2，可不可以？1L2L1,3,4,7,11,18，29，…，，，，，，29181811117744331618.021-5黄金比不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。上述连分数可以看做是中，把x的表达式反复代入等号右端得到的。例如，第一次带入得到的是反复迭代，就得到上述的连分数11111111xx11xx1111x11111111x通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第n条分数线截住，即把第n+1条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第n次近似值，记作。对照可算得nnvu11111111x531111111vu32111111vu211111vu11vu44332211，，，发现规律后可以改一种算法，直接由前一个近似值，推算下一个近似值：例如顺序排起来，这个连分数的近似值位次为1-n1-nnnvu11vu，，1388511vu11vu855311vu11vu55664455，，，，，，，，，nn1-n1-nvuvu13885533221111235813213455+89？？？连续的10个斐波那契数的和，是这10个数中第7个数的11倍。1235813213455+89？？？21×11=2313455891442333776109871597+2584？？？？610×11=6710卢卡斯数列的公式：前n项的和等于第n+2项减去第2项。1,3,4,7,11,18,29，…定义：一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称该矩形为黄金矩形。黄金矩形可以无限地分割下去。试求黄金矩形的宽与长之比（也称“黄金比”）。定义：把任一线段分割成两段，使大段：全段=小段：大段，这样的分割叫做黄金分割，这样的比值也叫黄金比。充分必要条件：黄金分割中，大段与全段之比就是黄金比。思考：对于同一条线段，黄金分割点有几个？怎样用圆规、直尺作图，来找到任意一条线段AB的黄金分割点C？黄金分割之所以被称为“黄金”分割，黄金比之所以称为“黄金”比，是比喻这一“分割”和这种“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如同黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，认为它表现了恰到好处的“和谐”。应用举例1人体各部分的比2著名建筑物各部分的比3美观矩形的宽长比4风景照片中地平线位置的安排5正五角星中的线段比1人体各部分的比人体是美的，这是因为人体的许多部分存在黄金分割、黄金比。肚脐分割头和脚；印堂穴分割口和头顶；肘关节分割肩和中指尖；膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。2著名建筑物各部分的比如埃及的胡夫金字塔，塔高（137m）与底边长（227m）之比为0.629；古希腊的帕特农神庙，其大理石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618，都为黄金比的近似值。3美观矩形的宽长比以黄金比为宽长比的矩形称为黄金矩形，给人和谐、愉悦的美感，常常在建筑、家具中采用。如多数国家的国旗。均采用接近黄金矩形的矩形。4风景照片中地平线位置的安排风景照片中地平线的位置，并不是安排在中间最好；往往是安排在黄金分割的位置比较美观。当然，有上、下两种安排，都可以构成黄金分割。5正五角星中的线段比据数学史专家考证，古希腊的数学家，最早就是从五角星中的线段比发现了黄金比。古希腊毕达哥拉斯学派就用五角星作为学派的标志。6其他6其他舞台报幕者的最佳站位，并不是在舞台中央，而是稍稍偏离中央，在整个舞台长度的0.618处较美。因此，黄金分割的美，黄金比的美，是体现在方方面面的。20世纪60年代，华罗庚先生创造并证明了优选法，还用很大的精力去推广优选法。“优选法”，即对某类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳试验点”的方法。例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？为了更好地领会该问题，现把问题具体表述如下：假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000g到2000g之间，现求最佳加入量，误差不超过1g。一种动脑筋的办法是二分法。即取1000g至2000g的中点1500g，再取进一步的中点1250g和1750g，分别做两次试验。如果1750g效果较差，就删去1750g到2000g的一段，如果1250g处效果较差，就删去1000g到1250g的一段。再在剩下的一段中再次取中点做试验，比较效果，决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。最“笨”的一种办法是分别加入1001g，1002g，…，2000g，做1000次试验，就能发现最佳方案。表面上看来，似乎这就是最好的方法，但华罗庚先生证明了，每次取中点的试验方法并不是最好点方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。“黄金分割点的再生性”是说：如果C是AB的黄金分割点，C'是BA的黄金分割点，则必定C'又恰是AC的黄金分割点。同样，如果C''是CA的黄金分割点，则C''又恰是AC'的黄金分割点，等等，一直延续下去。这里，“再生”的涵义是，C'本来只是BA的黄金分割点，按理如果要找AC的黄金分割点，需要重新作图。但现在不需要重新作图就可知C'必定又是AC的黄金分割点。就是说，AC的黄金分割点会自己“再生”出来。为了说清“黄金分割点的再生性”，我们要把线段看作有向线段。根据黄金分割的再生性，华罗庚先生设计了一种直观的优选法——“折纸法”，供工农兵使用。仍以上面见过的“在钢水中添加某种元素”的问题为例。用一个有刻度的纸条表达1000~2000g。在这纸条长度的0.618处画一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按1618g做第一次试验。然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，透光对准前一条线再画一条线（此即再生的黄金分割点），这条线在1382g处，再按1382g做第二次试验。把两次试验的结果比较，如果1618g的效果较差，我们就把1618g以外的短的一段纸条剪去。再把剩下的纸条对折