离散时间随机过程的功率谱密度分解

2.3离散时间随机过程的功率谱密度前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相关性质，并得出重要的关系式:(维纳—辛钦公式)随着快速傅里叶变化(FFT)算法出现以及数字信号处理(DSP)芯片的飞速发展，对离散时间随机过程的研究就显得非常重要。2020/3/52一离散时间随机过程的功率谱密度1平稳离散时间随机过程的相关函数设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值。X(n)可以看作对连续时间随机过程进行采样得到的信号，采样间隔，即。X(n)自相关函数为:)]()([)(mTnTXnTXEmRX简写为：)]()([)(mnXnXEmRXsT()()|stnTXnXt2020/3/532平稳离散时间随机过程的功率谱密度序列的傅里叶变换存在的充要条件是满足绝对可和条件：即定义的功率谱密度为序列的傅里叶变换，并记为)(mRX()XmRm)(nX)(mRX)(XS()()jmTXXmSRme1()()2jmTXXRSed2020/3/54是频率为的周期性连续函数，其周期为T是随机序列相邻各值的时间间隔。22qT奈奎斯特频率)(XS因为为周期函数，周期为)(XS2qdeSmRTjmXqXqq)(21)(在时0m1[()](0)()2qqXXqEXnRSd2020/3/553谱分解①z变换定义在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换，并记为，即)(mRXzSXmmXXzmRzS)(式中,()()jTjTXXzeSeS11()()2mXXDRmSzzdzj式中，D为在的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条闭合围线。zSX为的逆z变换)(mRXzSX2020/3/56②性质：1()()XXSzSz（因为）)()(mRmRXX③谱分解定理设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数。则可分解为：zSXzSX)()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中包含了单位圆之内的全部零点和极点包含了单位圆之外的全部零点和极点2020/3/57例设，求和(),1mXRmaa()XSz()XS解10221111()(1)1()(1)(1)(1)(1)()()mmmmXmmSzazazazzazazzazaazaaaazazaazz将代人上式，即可求得jTze11()2cosXaaSaaT2020/3/58连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数()Xt()Xn()cR()Rm()S()cSFTDFT2020/3/59连续时间确知信号离散时间确知信号()St()Sn采样香农采样定理2020/3/510二平稳随机过程的采样定理其中，为采样周期，为在时对的采样。sin(())()()()(())()ccscsscsnncstnTstsnTsnTSatnTtnT1确知信号的采样定理(香农采样定理)),(cc1/2scTf设为一确知、连续、带限的实信号，其频带范围，当采样周期时即频率时，可唯一由其抽样点确定（恢复）。)(ts)(ts2(2)scccfff()ssnTnTt)(tssT()ssnT2020/3/511连续时间确知信号离散时间确知信号()St()Sn采样香农采样定理)()(nTSnSsin(())()()()ccssncstnTstsnTtnT2020/3/512连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程()Xt()Xn采样2020/3/5132平稳随机过程的采样定理若为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为，则当满足条件时，可将按它的振幅样本展开为()()0XcXSS其它12sccTf)(tX)(tXsin()()lim()NcsNnNctnXtXnTtn()sXnT是均方意义下的极限（均方极限）：若，则表示，即，在时，Y(t)和X(t)的均方误差趋于零。()lim()NXtYt2lim[(()())]0NEXtYtNlim2020/3/514证明第一步：的带宽也是有限。sin()()()cXXsncnRRnTn(1)a()(),()jajaXXXRaSeSe)(aRXsin()()()cXXsncnRaRnTan(2)令，则'asin(())()()()cXXsncanRRnTaan(3)对，对应用香农采样定理带宽有限，是带限确定信号，由香农采样定理可知)(XR()()XXRS)(XS是确知函数，维纳-辛钦定理：)(XR2020/3/515第二步：sin()ˆ()()NcsnNctnXtXnTtn令ˆlim()()()sin()()()0NcXsXssncEXtXtXmTtnRtmTRnTmTtn，则这说明，ˆ[()()]XtXt)(mTX正交又是的线性组合，sin()ˆ()()NcsnNctnXtXnTtn)(mTXN正交ˆ[()()]XtXt)(ˆtX2020/3/516即ˆˆlim()()()0NEXtXtXt(4)又ˆlim()()()0NEXtXtXt(5)第三步：2ˆlim()()ˆˆˆlim[(()())()]lim[(()())()]0NNNEXtXtEXtXtXtEXtXtXt即sin()ˆ()lim()lim()NcsNNnNctnXtXtXnTtn2020/3/5172ˆlim()()0NEXtXtsin()()lim()NcsNnNctnXtXnTtn第一步第二步第三步sin()()()cXXsncnRRnTn(1)sin()()()cXXsncnRaRnTan(2)sin(())()()()cXXsncanRRnTaan(3)ˆˆlim()()()0NEXtXtXt(4)ˆlim()()()0NEXtXtXt(5)2020/3/518连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程()Xt()Xnsin()()lim()NcsNnNctnXtXnTtn采样()()XnXnT自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数()cR()Rm()S()cSFTDFT2020/3/519三功率谱密度的采样定理若平稳连续时间实随机过程，其自相关函数和功率谱密度分别记为和，对采样后所得离散时间随机过程，的自相关函数和功率谱密度分别记为和，则有)(cR)(cS()cXt()()sXnXnT)(nX)(mR)(S()[()()][()()]()()|scscscscmTRmEXnXnmEXnTXnTmTRmTR1()(2)cqqnssSSnTT()cXt2020/3/520连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程()Xt()Xnsin()()lim()NcsNnNctnXtXnTtn采样()()XnXnT自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数()cR()Rm()S()cSFTDFT平稳随机过程的采样定理)()(mTRmRc功率谱密度的采样定理1()(2)cqnsSSnTqsT