解三角形应用举例-(共33张PPT)

[小题热身]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：A2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：D3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)答案：C4．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56mB．153mC．52mD．156m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，解得BC＝152(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156(m)．答案：D5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向．解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°6．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________m.解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，即得x＝40，所以电视塔高为40m.答案：40[知识重温]一、必记4●个知识点1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线①______时叫仰角，目标视线在水平视线②______时叫俯角．(如图所示)上方下方2．方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指③__________，即东北方向．3．坡角坡面与④______的夹角．(如图所示)4．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α为坡角)．北偏东45°水平面二、必明1●个易误点易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．考向一测量距离问题[自主练透型][例1]如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.[解析]∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m.[答案]206—[悟·技法]—测量问题中距离问题的解法(1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题．(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解．—[通·一类]—1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007(m)．即A，B两点间的距离为2007m.考向二测量高度问题[互动讲练型][例2](2015·湖北卷)一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__________m.[解析]依题意，知∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°.因为AB＝600m，由正弦定理可得ABsin45°＝BCsin30°，即BC＝3002m．在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝3002m，所以tan30°＝CDBC，所以CD＝1006m.[答案]1006—[悟·技法]—求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图，转化为解三角形问题．(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．—[通·一类]—2．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.解析：分析题意可知，设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋h23－2·3h·h3·(－12)，解得h＝1039，故塔的高度为1039m.答案：1039考向三测量角度问题[互动讲练型][例3]如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速率；(2)求sinα的值．[解析](1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.—[悟·技法]—解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．—[通·一类]—3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.