高一数学三角恒等变换单元测试题

1高一数学三角恒等变换测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．sin47°cos43°＋cos47°sin43°等于()A．0B．1C．－1D.122．log2sinπ12＋log2cosπ12的值为()A．－4B．4C．－2D．23．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为()A．－47B.47C.18D．－184．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.535．(2011·福建高考)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．66．若f(sinx)＝2－cos2x，则f(cosx)等于()A．2－sin2xB．2＋sin2xC．2－cos2xD．2＋cos2x7．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是()A．－235B.235C．－45D.458．(2012·江西高考)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.129．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝45，且β∈(π，32π)，则cosβ2为()A．－55B．±55C．－255D．±25510．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝26(0＜θ＜π2)，则sin2θ的值为()A.23B.73C.76D.346二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．函数y＝1－2sin2(x－π6)的最小正周期是________．12．已知α、β均为锐角，sinα＝35，cosβ＝513，则tan(α－β)的值是________．13．已知sinα＝35，α∈(π2，π)，则cos(π4＋α)sin(π4－α)的值为________．214．(2011·重庆高考)已知sinα＝12＋cosα，且α∈(0，π2)，则cos2αsin（α－π4）的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分)．15．(本小题满分12分)证明下列恒等式．sinα＝2tanα21＋tan2α2，cosα＝1－tan2α21＋tan2α2；16．(本小题满分12分)已知cos(α－β2)＝－277，sin(α2－β)＝12且α∈(π2，π)，β∈(0，π2)．求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．17．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin(2x＋π3)＋sin(2x－π3)＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．18．(本小题满分14分)已知f(x)＝sinx＋2sin(π4＋x2)cos(π4＋x2)．(1)若f(α)＝22，α∈(－π2，0)，求α的值；(2)若sinx2＝45，x∈(π2，π)，求f(x)的值．3一、选择题BCABDDCDA1．解析：原式＝sin(47°＋43°)＝sin90°＝1.2．解析：原式＝log2(sinπ12cosπ12)＝log2(12sinπ6)＝log214＝－2.3．解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）tan（α－β）＝3＋51－3×5＝－47.4．解析：∵sinα＝23，∴cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×(23)2－1＝－19.5．解析：∵sin2αcos2α＝2sinα·cosαcos2α＝2tanα＝6.6．解析：f(sinx)＝2－cos2x＝2－(1－2sin2x)＝2sin2x＋1，∴f(cosx)＝2cos2x＋1＝2cos2x－1＋2＝cos2x＋2.7．解析：由条件可知，32cosα＋12sinα＋sinα＝453.∴32(cosα＋3sinα)＝453.∴sin(α＋π6)＝45，∴sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.8．解析：∵tanθ＋1tanθ＝4，∴sinθcosθ＋cosθsinθ＝4，∴sin2θ＋cos2θcosθsinθ＝4，即2sin2θ＝4，∴sin2θ＝12.9．解析：由条件知sin[(α－β)－α]＝45，即sinβ＝－45，∵β∈(π，32π)，∴cosβ＝－35，又β2∈(π2，34π)．且cosβ＝2cos2β2－1＝－35，∴cosβ2＝－55.10．解析：∵(π4－θ)＋(π4＋θ)＝π2，∴cos(π4＋θ)＝sin(π4－θ)．由已知得cos(π4－θ)sin(π4－θ)＝26，∴sin(π2－2θ)＝23，即cos2θ＝23，∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，∴sin2θ＝73.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．解析：y＝1－2sin2(x－π6)＝cos(2x－π3)，∴T＝2π2＝π.答案：π12．解析：由α为锐角，sinα＝35，得：cosα＝45tanα＝34，由β为锐角，cosβ＝513，得：sinβ＝1213tanβ＝125，故tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－3356.答案：－335613．解析：cos(π4＋α)sin(π4－α)＝cos2(π4＋α)＝1＋cos（π2＋2α）2＝12－12sin2α.∵sinα＝35，α∈(π2，π)，∴cosα＝－1－sin2α＝－45.∴原式＝12－sinαcosα＝12－35×(－45)＝4950.答案:495014．解析：由题意知sinα－cosα＝12，两边平方可得sin2α＝34，所以(sinα＋cosα)2＝14＋sin2α＝74，又α∈(0，π2)，所以sinα＋cosα＝72.cos2αsin（α－π4）＝cos2α－sin2α22（sinα－cosα）＝－2(sinα＋cosα)＝－142.答案：－142三、解答题15．证明：sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2.16．解：(1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，∴sin(α－β2)＝1－cos2（α－β2）＝217，cos(α2－β)＝1－sin2（α2－β）＝32.∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)·cos(α2－β)＋sin(α－β2)·sin(α2－β)＝(－277)×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4＜α＋β2＜34π，∴sinα＋β2＝1－cos2α＋β2＝5714，∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.17．解：(1)f(x)＝sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＋sin2x·cosπ3－cos2x·sinπ3＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4)．所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间[－π4，π8]上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数．又f(－π4)＝－1，f(π8)＝2，f(π4)＝1，故函数f(x)在区间[－π4，π4]上的最大值为2，最小值为－1.18．解：(1)f(x)＝sinx＋2sin(π4＋x2)cos(π4＋x2)＝sinx＋sin(x＋π2)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，由f(α)＝22，得2sin(α＋π4)＝22.∴sin(α＋π4)＝12.∵α∈(－π2，0)，∴α＋π4∈(－π4，π4)．∴α＋π4＝π6.∴α＝－π12.(2)∵x∈(π2，π)，∴x2∈(π4，π2)．又sinx2＝45，∴cosx2＝35.∴sinx＝2sinx2cosx2＝2425，cosx＝－1－sin2x＝－725.∴f(x)＝sinx＋cosx＝2425－725＝1725.