《三角函数模型的简单应用》教案完美版

《三角函数模型的简单应用》教案三角函数的教学当中主要突出四点：第一、突出函数；第二、突出解析几何；第三、突出我们通常所说的数型结合；第四、突出物理背景。这些在三角函数的教学当中，都不是一点一点的体现，而是需要贯穿在三角函数教学的自始至终。这些希望我们对于三角函数的教学，能够结合已有的经验有所提升，需要有一个再认识。教科书专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。本节选了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：（1）根据图像建立解析式→由形到数；（2）根据解析式作出图像→由数到形；（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型（建模）；（4）利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型（是前三点的结合应用）。教科书在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数的性质（特别是周期性）的应用，引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力。由于实际问题常常涉及一些复杂的数据，根据数据作出散点图，再根据散点图进行函数拟合等。教案1.6三角函数模型的简单应用一、教学目标1.知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤：(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。2.过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。3.情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。二、教学重、难点教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。教学难点：(1)分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。(2)由图象求解析式时的确定。三、课时安排：共2课时第一课时1.6三角函数模型的简单应用（一）一、提出问题，引入课题问题：在前面我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性。在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它是否可以借助三角函数来描述呢？回忆在必修1第三章第二节“函数模型及其应用”，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画他呢？接下来几个具体例子，来研究我们这节课学习的三角函数模型的简单应用。二、新知探究探究一：根据图象建立三角函数关系例1.如图1.6-1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数sin()yAxb(1)求这一天6～14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式。讨论：观察如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A、b、ω；再由特殊点确定初相）教师示例→小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系。小结：本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题。问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式。也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围。科_网]练习：如右图，它表示电流sin()(0,0)IAtA在一个周期内的图象。（i）试根据图象写出sin()yAt的解析式。（ii）在任意一段3100秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？答案：1003sin()33It；由3350100T得不可能探究二：根据函数解析式作出函数图像例2：作出函数y＝｜sinx｜的图象并指出它的奇偶性、周期以及单调区间。分析：绝对值的几何意义？→作简图→由图说性质小结：本例利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。显然，函数xysin与正弦函数有紧密的联系。通过数形数形结合思想研究函数性质。变式：研究y＝｜cosx｜、y＝｜tanx｜。探究三：根据实际问题将其抽象为与三角函数有关的简单函数模型小结：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。思考1：图中θ、δ、φ这三个角之间的关系是什么？θ=90°－∣φ－δ∣思考2：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？h=h0tanθ思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长。三、巩固练习：1.练习：教材P65练习1题.2.作业：书P65习题1、2、3题.变式训练：某市的纬度是北纬23》，假设你想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间间距15米。要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房挡住，你应选择哪几层的房？三、巩固练习：1.练习：教材P65练习1题2.作业：书P65习题1、2、3题第二课时1.6三角函数模型的简单应用（二）一、导入新课复习引入：回忆上节课我们学习了三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续来探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用。二、新知探究提出问题【师】若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？【生】水深情况。【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。请同学们看下面这个问题探究四：根据相关数据进行三角函数拟合例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：探究一：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数bxAy)sin(（排除法，关键在于周期性）。根据图像求解析式：得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？（师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深5.5米得出5.1456sin5.2x，即2.06sinx，（师生齐分析）解三角不等式2.06sinx的方法令2.06sinx用计算器计算3848.0,2014.06xx，给出图象发现：在[0，24]范围内，方程2.06sinx的解一共有4个，从小到大依次记为：那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？1）货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。2）货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。……（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：，讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程数形结合，二分法求近似解：由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间实际水深安全水深是否安全65米4．3米安全6.54．2米4．1米较安全73．8米4．0米危险货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（学生讨论）可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。三、课时小结，认识深化1、回顾整个探究过程，第一阶段：收集数据-----画散点图第二阶段：根据图象特征---选模、求模、验模第三阶段：函数模型应用2、在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。3、教师演示激发学生思考并进一步探究：生活中哪些现象与三角函数模型有关？-----周期性4、作业布置育星教育网风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。所有的结局都已写好所有的泪水也都已启程却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索年轻的你