角平分线的性质定理和逆定理--

三角形的角平分线如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000问题引入如何作一个角的平分线?下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（）PAl1l2图1图2Pl1l2B图1下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）APMAPN图1已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PEOPDEACB证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）问题探究问题探究角平分线性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理1∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD强化巩固（×）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCB√不必再证全等例△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE（点D到AB的距离是3）例.如图，在△ABC中,∠C=90°,AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证：△DBE的周长等于AB的长。如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。BOAPEDC∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。∴点P在∠AOB的平分线上。定理2角的平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合。数学表达式：例如图,△ABC的角平分线BM,CN相交与点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.PMCBNADEF如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000·OABCP┒1已知：如图，∠C=∠D=90°，BC=BD。求证：（1）∠BAC=∠BAD（2）AC=ADADCB课堂练习2如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=。ABCDCEF60BF3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么AE+DE=。6cm如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。