(06)第6章++统计量及其抽样分布

6-1第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的抽样分布6-2学习目标1.了解统计量及其分布的几个概念2.了解由正态分布导出的几个重要分布3.理解样本均值的分布与中心极限定理4.掌握样本比例的抽样分布6-36.1统计量6.1.1统计量的概念6.1.2常用统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量6-4统计量(statistic)1.设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量，其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来。样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量2.统计量是样本的一个函数3.统计量是统计推断的基础6-5常用统计量样本均值、样本方差、样本变异系数等矩：在统计学中，矩是指以期望值为基础而定义的数字特征。矩可以分为原点矩和中心距两种。样本均值为一阶原点矩；样本方差为二阶中心距。6-6次序统计量（顺序统计量）1.一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量2.中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量6-7充分统计量1.定义：统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量2.例：P1596-86.2关于分布的几个概念6.2.1总体分布6.2.2样本分布6.2.3抽样分布6.2.4渐进分布6.2.5随机模拟获得的近似分布6-91.总体：是我们所关心的若干个元素（个体）的集合。总体中每个元素的取值是不同的，这些观察值所形成的分布就是总体分布。2.总体分布：总体中各元素的观察值所形成的相对频数分布，称为总体分布。总体分布(populationdistribution)6-101.总体：是我们所关心的若干个元素（个体）的集合。总体中每个元素的取值是不同的，这些观察值所形成的分布就是总体分布。2.总体分布：总体中各元素的观察值所形成的相对频数分布，称为总体分布。总体分布(populationdistribution)6-111.样本:是从总体中所抽取的部分元素的集合2.样本分布：从总体中抽取一个容量为n的样本，由这n个观察值形成的相对频数分布，称为样本分布。注意：样本来自总体，其中包含着总体的一些信息和特征，因此样本分布也称为经验分布。注意与抽样分布是不同的概念。样本分布(sampledistribution)6-121.抽样分布：某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。从一般意义上，抽样分布就是指样本统计量的概率分布。例如，样本均值的分布、样本比例的分布、样本方差的分布等都称为抽样分布。下面重点介绍样本均值的抽样分布。抽样分布(samplingdistribution)6-13渐近分布P160近似分布P160(了解)6-146.3由正态分布导出的几个重要分布6.3.12分布6.3.2t分布6.3.3F分布6-152分布6-161.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设，则3.令，则Y服从自由度为1的2分布，即4.当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布(2distribution)),(~2NX)1,0(~NXz2zY)1(~2Y),(~2NX)1(~)(2212nxxnii6-171.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布(性质和特点)6-182分布(图示)不同容量样本的抽样分布2n=1n=4n=10n=206-19t分布6-20t分布1.高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(学生)为笔名的论文中首次提出2.t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散3.一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布6-21t分布图示xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z6-22F分布6-231.由统计学家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布(Fdistribution)21nVnUF),(~21nnFF6-24F分布(图示)不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6-256.4样本均值的分布与中心极限定理6-261.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布6-27样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差5.21NxNii25.1)(122NxNii6-28样本均值的抽样分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）6-29样本均值的抽样分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P(x)1.53.04.03.52.02.56-30样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x5.2x625.02x6-31样本均值的抽样分布与中心极限定理=50=10X总体分布n=4抽样分布xn=165x50x5.2x当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)6-32中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布nx中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体xx6-33中心极限定理(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程6-34抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本6-35样本均值的抽样分布(数学期望与方差)1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差重复抽样不重复抽样)(xEnx221)1(2NnNnp6-36样本均值的抽样分布(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMxnixix222122625.016)5.20.4()5.20.1()(5.2160.45.10.11Mxniix6-37均值的抽样标准误差1.所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度2.也称标准误差2.小于总体标准差3.计算公式为nx6-38样本比例的抽样分布6-391.定义：总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为比例(proportion)NNNN101或nnpnnp101或6-40样本比例（即成数）的抽样分布（简称比例分布）抽样比例比例=Ni/N所有可能的样本的比例（）所形成的分布，称为样本比例的抽样分布。nnPi/ˆnPPPˆ,ˆ,ˆ216-411.在重复选取容量为的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似4.推断总体比例的理论基础样本比例的抽样分布6-421.样本比例的数学期望2.样本比例的方差重复抽样根据中心极限定理，只要样本足够大，的分布就近似正态分布。（即np和nq大于5时）样本比例的抽样分布(数学期望与方差))(pEnp)1(26-43本章重点1、概念：统计量、抽样分布、t分布、中心极限定理2、样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布6-44练习题1、设X1,X2,…,Xn是从某总体X中抽取的一个样本，下面哪个不是统计量（）A、B、C、D、2、抽样分布是指（）A、一个样本各观察值的分布；B、总体中各观察值的分布C、样本统计量的分布D、样本数量的分布)]([2xExixinx1)(221xxsn)(2211xxsn6-451、大样本的样本比例的抽样分布服从（）A、正态分布B、F分布C、t分布D、卡方分布2、某班学生的龄是右偏分布，均值为22，标准差为4.45.若采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（）A、正态分布，均值为22，标准差为4.45；B、分布形状未知，均值为22，标准差为4.45C、正态分布，均值为22，标准差为0.445D、分布形状未知，均值为22，标准差为0.4456-46练习题答案1A2C3A4C