§3函数极限存在的条件

1§3函数极限存在的条件【教学目的】函数各类极限的Heine归并原则，Cauchy准则。【教学重点】极限)(lim0xfxx的Heine归并原则，Cauchy准则。【教学难点】极限)(lim0xfxx的Heine归并原则，Cauchy准则。【教学过程】与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。本节介绍函数极限存在的两个充要条件。仍以极限)(lim0xfxx为例。一、Heine归并原则—函数极限与数列极限的关系定理1设函数f在点0x的某空心邻域0(;)Ux内有定义。则极限)(lim0xfxx存在对任何0()nxUx且)(lim,0nnnxfxx都存在且相等.证（必要性）设0lim()xxfxA则对任给的0,存在正数,使得当00xx时有|()|fxA.另一方面,设数列0{}(;)nxUx且0limnnxx,则以上述的0存在0N,使得当nN时有00xx,从而有|()|nfxA.这就证明了lim().nnfxA（充分性）设对任何数列0{}(;)nxUx且0limnnxx，有lim()nnfxA,则可用反证法推出0lim()xxfxA。事实上，倘若当0xx时f不以A为极限,则存在某00,对任何0(不论多么小),总存在一点x,尽管00xx，但有0|()|fxA(§1习题2)。现依次取////,,,,,,23n则存在相应的点12,,,,nxxx，使得/00nxxn而0|()|,1,2,nfxAn2显然数列0{}(;)nxUx且0limnnxx但当n时()nfx不趋于A。这与假设相矛盾,所以必有0lim()xxfxA。注1归结原则也可简述为:0lim()xxfxA对任何0()nxxn有lim()nnfxA。注2若可找到一个以0x为极限的数列{}nx使)(limnnxf不存在,或找到两个以0x为极限的数列{}nx与{}nx,使/lim()nnfxA与//lim()nnfxBA都存在而不相等,则0lim()xxfx不存在。Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具。对单侧极限，还可加强为}{nx单调趋于0x。例1证明.01sinlim0xx证设1nxn,xn//=1,1,2,22nxnn，则显然有0,0,()nnxxn///11sin0,sin1,()nnnxx故由归结原则即得结论。定理2设函数)(xf在点0x的某空心右邻域)(0xU有定义。则Axfxx)(lim0对任何以0x为极限的递减数列nx)(0xU，有Axfnn)(lim。定理3设函数)(xf为定义在)(0xU上的单调有界函数。则)(lim0xfxx存在。证不妨设f在)(0xU上递增。因f在)(0xU上有界,由确界原理00()inf()xUxfx存在,记为A。下证0lim()xxfxA。事实上，任给0,按下确界定义,存在0()xUx,使得()fxA取00xx,则由f的递增性,对一切00(,)(;)xxxUx,有()()fxfxA3另一方面,由()Afx,更有()Afx。从而对一切0(;)xUx有()AfxA这就证得0lim().xxfxA二、Cauchy准则定理4(Cauchy准则)设函数)(xf在点0x的某空心邻域0(,)Ux内有定义。则)(lim0xfxx存在xx,),(0,0),(00x,.)()(xfxf证必要性设0lim()xxfxA,则对任给的0，存在正数(),使得对任何0(;)xUx有|()|2fxA。于是对任何0,(;)xxUx有()()()().22fxfxfxAfxA充分性设数列0{}(;)nxUx且0limnnxx按假设，对任给的0,存在正数(),使得对任何0,(;)xxUx有()()fxfx。由于,对上述的0,存在0N使得当,nmN时0,(;)nmxxUx,从而有()().nmfxfx于是,按数列的柯西收敛准则,数列{()}nfx的极限存在,记为A即lim()nnfxA。设另一数列0{}(;)nyUx且0limnnyx，则如上所证,lim()nnfy存在,记为B。现证BA。为此，考虑数列1122{}:,,,,,,nnnzxyxyxy易见0{}(;)nzUx且0limnnzx(见第二章§1例7)。故仍如上面所证,lim()nnfz也存在。于是,作为{()}nfz的两个子列,{()}nfx与{()}nfy必有相同的极限。所以由归结原则推得0lim()xxfxA。Cauchy准则的否定:)(lim0xfxx不存在的充要条件。4例4用Cauchy准则证明极限xx1sinlim0不存在.证取.21,1nxnx则有,(0;)xxU，而011sinsin1xx。于是按柯西准则,极限xx1sinlim0不存在。例5设在[),a上函数)(xf单调减少。则极限)(limxfx存在)(xf在[),a上有界.(简证,留为作业).作业P551——4.