平面向量的数量积及应用

课题平面向量的数量积建水二中毛志永第二章平面向量第1课时平面向量的数量积及应用考点一平面向量数量积的运算考点二向量a在b上的投影考点三利用向量的数量积求夹角和模考点考点四平面向量数量积的综合应用教材梳理基础自测一、平面向量的数量积1.向量的夹角(1)定义：如图，两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a与b的夹角是.(向量OA→与OB→共起点)(2)范围：向量a与b的夹角的范围是．(3)当θ＝0°时，a与b．当θ＝180°时，a与b．当θ＝90°时，a与b．非零∠AOB[0°，180°]同向反向垂直教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测一、平面向量的数量积2．平面向量数量积的定义(1)已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把数量叫做a和b的数量积(或内积)，记作.即a·b＝，规定0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．非零|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ|b|cosθ教材梳理基础自测一、平面向量的数量积[自测1]已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝__________.－32教材梳理基础自测二、平面向量数量积的坐标表示、性质及运算律1．向量数量积的坐标运算设OA→＝a＝(x1，y1)，OB→＝b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则(1)a·b＝；(2)|a|＝；(3)cosθ＝；(4)a⊥b→a·b＝0→x1x2＋y1y2＝0.x1x2＋y1y2x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22教材梳理基础自测二、平面向量数量积的坐标表示、性质及运算律2．数量积的性质(1)设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2或|a|＝a2；(3)a⊥b；(4)cosθ＝(θ为a与b的夹角)；(5)|a·b||a||b|.a·b＝0≤a·b|a||b|教材梳理基础自测二、平面向量数量积的坐标表示、性质及运算律3．数量积的运算律(1)a·b＝；(2)(λa)·b＝＝；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·cb·aλ(a·b)a·(λb)教材梳理基础自测二、平面向量数量积的坐标表示、性质及运算律[自测2]设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a∥bD．a－b与b垂直[自测3]已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78[自测4]已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________．DAπ3考点突破题型透析考点一平面向量数量积的运算1．已知1a，6b，()2aba，则向量a与b的夹角的正切值为______．解：()2aba22aba223aba设a与b的夹角为，则31cos162abab又0,，3tan33考点突破题型透析考点一平面向量数量积的运算922．(2015·石家庄质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则AE→·AF→的最大值为________．以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则E(2，12)，设F(x，y)，则0≤x≤20≤y≤1，AE→·AF→＝2x＋12y，令z＝2x＋12y，当z＝2x＋12y过点(2,1)时，AE→·AF→取最大值92.考点突破题型透析考点一平面向量数量积的运算2练习：若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足1263CMCBCA，则MAMB________.解：建立如图所示的直角坐标系，得(0,3)A，(3,0)B，(3,0)C设(,)Mxy，由1263CMCBCA可得12(3,)(23,0)(3,3)63(3,)(3,2)0,2xyxyxy即(0,2)M∴(0,1)MA，(3,2)MB，∴2MAMB考点小结题型透析考点一平面向量数量积的运算通过上面的练习我们应该注意：1、用数量积的定义进行计算时注意考虑向量夹角的判断及取值范围；2、计算几何图形中的数量积时，选择建立合适的直角坐标系，利用向量的坐标使几何问题代数化，从而能快速、准确的解决问题．考点突破题型透析考点二向量a在b上的投影b上的投影1．(2013·高考湖北卷)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152选A.首先求出AB→，CD→的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知，得AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，因此AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.考点突破题型透析考点二向量a在b上的投影b上的投影2.已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．解：2222222)(2bbaabbabaababa）（.21)(2.11120cos112122)(.211120cos111222222babababbaababa）（考点小结题型透析考点二向量a在b上的投影b上的投影1、能通过已知点的坐标正确计算向量的坐标，再根据数量积的坐标运算方法准确无误的求解；2、能正确理解平面向量数量积的几何意义，解答问题时弄清楚向量投影的方向，避免概念混淆。平面向量数量积作业：导与练P40-41