勾股定理在折叠、立体问题中的应用

勾股定理在折叠问题中的应用直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方abc22abc2那么勾股定理在直角三角形、长方形等图形中折叠问题又如何运用呢？BCA在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=3,b=4，则c=；（2）若c=13,a:b=5:12，则a=,b=；发挥你的想象力直角三角形、长方形可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。BADCCEFEFDACBFEDCBACBADE例1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.CBADE66直角三角形中的折叠8xx(8-x)4？解：在Rt△ABC中AC=6cm，BC=8cm根据勾股定理得AB=10cm设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,∠C=∠AED=90°解得x＝3∴CD=DE=3cm∴BE＝10-6＝4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42CBADE66例1XX4(8-X)8解题步骤1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x。2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。ACB如图，小红同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与C重合，折痕为DE，若已知AB=8，BC=6,你能求出BE的长吗？DE68x8-x8-xX2+62=(8-x)2X=1.75例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。ABCDFE810106x48-x心得：先标等量，再构造方程。折叠问题中构造方程的方法.把条件集中到一个Rt△中，根据勾股定理得方程。解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8cm，EF＋EC=DC=8cm，∴在Rt△ABF中FC=BC-BF=4cm设EC=xcm,则EF=DC－EC=(8－x)cm在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC²+FC²=EF²即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，∴EC的长为3cm。长方形中的折叠10例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=10.10108∵∠B=90°，∴AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.∵∠C=90°，∴CE2+CF2＝EF2，(8－X)2+42=X2，64－16X+X2+16=X2，80－16X=0，16X=80X=5在RtADE中，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2，∴AE2=102+52=125,∴AE=125=55.勾股定理的应用--------立体图形中最短路程问题CA在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A处爬向C处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？BCA想一想蚂蚁爬行的最短路线（从A到C）思考如何计算？B蚂蚁A→C的路线ACCAO显然方案（2）最短理由是什么呢?ACBAC展开侧面之后成长方形利用B如何计算ＡＣ的长？沿AB剪开，摊开两点之间线段最短即线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程算一算A.BcOAABC解题思路•1、展-------•2、找--------•3、连--------•4、算--------•5、答（立体平面）起点，终点路线利用勾股定理（5步走）有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到点A的正上方点B，问梯子最短需多少米？AB练习1：分析：AＢ5米12米13米变一变有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC练习2：解：如图，在Rt△ABＣ中，BC=底面周长的一半=16×=8m，AC=7-1=6m由勾股定理，可得2122BCACAB10m8622答：它爬行的最短路线长为10m请同学们自己独立完成过程如图,一圆柱高9cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从距上底面1厘米点A爬到对角B处吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定练习2练习3：BAABC例6：如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.A.3B.C.2D.1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B5◆在长30cm、宽50cm、高40cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.305040图①305040CDA.B.ADCB3050408000408022CCDA.B.ACBD图②3040503040509000903022CCDA.B.图③50ADCB40303040507400705022