第四章-平稳随机过程的谱分析

第四章平稳随机过程的谱分析2020/3/52第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2020/3/53确定信号的频域分析随机信号是否也可以应用频域分析方法?随机信号的频域分析关键点4.1、平稳随机过程的功率谱密度2020/3/54信号特征分析时域分析频域分析4.1、平稳随机过程的功率谱密度关键词傅立叶变换Parseval定理频谱能谱功率谱确定信号分析2020/3/55设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足•狄利赫利条件•绝对可积条件，即dttx)(•能量有限条件，即dttx2)(有限个极值；有限个断点；断点为有限值4.1、平稳随机过程的功率谱密度关于确定信号的一些假设2020/3/564.1、平稳随机过程的功率谱密度对于确定信号x(t)，既可以通过时域分析，也可以通过频域分析，时域和频域之间存在确定的关系，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示傅立叶积分傅立叶变换2020/3/574.1、平稳随机过程的功率谱密度则的傅立叶变换为：)(tx()()jtXxtedt其反变换为：1()()2jtxtXed包含：振幅谱相位谱频谱密度频谱密度存在的条件为：即信号为绝对可积信号dttx)(傅立叶变换4.1、平稳随机过程的功率谱密度傅立叶变换约瑟夫·路易斯·拉格朗日Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier拉格朗日，傅立叶旁，我凝视你凹函数般的脸庞。微分了忧伤，积分了希望，我要和你追逐黎曼最初的梦想。感情已发散，收敛难挡，没有你的极限，柯西抓狂，我的心已成自变量，函数因你波起波荡。低阶的有限阶的，一致的不一致的，是我想你的皮亚诺余项。4.1、平稳随机过程的功率谱密度傅立叶变换约瑟夫·路易斯·拉格朗日Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier狄利克雷，勒贝格杨一同仰望莱布尼茨的肖像，拉贝、泰勒，无穷小量，是长廊里麦克劳林的吟唱。打破了确界，你来我身旁，温柔抹去我，阿贝尔的伤，我的心已成自变量，函数因你波起波荡。低阶的有限阶的，一致的不一致的，是我想你的皮亚诺余项。2020/3/510dXdttxX22)(21)]([即能量谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度信号在时域的总能量等于其在频域的总能量能量谱密度存在的条件为：2()stdt即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号Parseval定理dtdeXtxdttxtjX)(21)()]([2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)]([即4.1、平稳随机过程的功率谱密度信号在时域的总能量等于其在频域的总能量证明：Parseval定理2020/3/512功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号其能谱不存在，而功率谱存在4.1、平稳随机过程的功率谱密度持续时间无限长的信号一般能量无限利用截取函数的性质21lim()2TTTPstdtT功率谱2020/3/513定义截取函数为：TtTttxtxT0)()(4.1、平稳随机过程的功率谱密度功率谱2020/3/5144.1、平稳随机过程的功率谱密度随机信号是否也可以应用频域分析方法？如何定义随机信号的功率谱？如何计算随机信号的平均功率？2020/3/515随机信号是否也可以应用频域分析方法？4.1、平稳随机过程的功率谱密度对于随机过程，一般不满足绝对可积和能量有限的这两个条件，这是因为一个随机过程的持续时间是无限长的，所以其总能量不是有限的。这说明随机过程的幅度频谱是不存在的，因此其频谱密度和能量密度都不存在2020/3/51616TtTttxtxT0)()(随机过程的样本函数及其截断函数2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）)(tx)(txTtTT20T4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？171）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？TTtjtjTTdtetxdtetxX)()()(①样本函数的截断函数的傅立叶变换：dtjeTXtxT)(21)(),(TX),(tTx181）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？2020/3/5dXdttxETT22),(21),(②样本函数的截断函数的能量：截断函数的能量谱2),(TX1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？③样本函数的（时间）平均功率：TTTdttxTW),(21lim219}2),(21{21limdTXTTdTXTT2),(21lim21功率谱2),(21lim),(TTXXTS4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？求各样本函数功率谱密度的统计平均2),(21lim)],([)(TTXXXTESES物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位电阻上消耗的功率的统计平均值.是的确定函数缺陷:不含相位信息2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？2),(21lim)],([)(TTXXXTESES即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度若为各态历经过程，则有：2),(21lim)(TTXXETS2),(21limTXTT求各样本函数功率谱密度的统计平均2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均2020/3/522220100200300400500-1.0-0.50.00.51.0n010203040506070809010010-910-810-710-61x10-51x10-410-310-210-1Frequency(Hz)Power0100200300400500-2-1012n随机信号：随机性信号功率谱分析的一个例子4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？1）频域计算方法任一样本函数的平均功率为1(,)2XWSd随机过程的平均功率为随机过程的平均功率：不同的频率成分对随机信号的平均功率的贡献。1[][(,)]2XWEWESd若为各态历经过程：=WW4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？2）时域计算方法任一样本函数的平均功率为21lim(,)2TTTWxtdtT随机过程的平均功率为21[]lim{()}2TTTWEWEXtdtT若为各态历经过程：=WW4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？3）频域计算与时域计算的关系dStXEX)(21)]([2对于平稳随机过程，有00()cos[],0,0.5,()XtataXt已知随机过程，其中为常量，为均匀分布在中的随机变量求的平均功率4.1、平稳随机过程的功率谱密度Exercise4.1TTdttXETTW)}(2{21lim)](2cos2[)](2[0taEtXE)]22cos(2222[0taaE)]22[cos(22220tEaadtaa220)22cos(22220)2sin(2220taaTTdttaaTT)2sin(22221lim022a2020/3/527第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2020/3/5284.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理利用维纳-辛钦定理求功率谱密度函数关键点2020/3/529确定信号：)()(jXtx随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。4.2、功率谱密度与自相关函数的关系傅立叶变换对：2020/3/54.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)()()1()()2jXXjXXSRedRSedXt若随机过程是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：2020/3/531TTXESXTX2]),([lim)(2)],(),([21lim*TXTXETXXTTT21lim])()([221121TTtjTTtjdtetXdtetXETTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)]()([21limTTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12020/3/5设12tt12ttu则22ut21ut所以：2121212121),(),(21uttJ4.2、功率谱密度与自相关函数的关系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2020/3/5t1t2-TT2T2Tu-2TTu2Tu2Tu2Tu24.2、功率谱密度与自相关函数的关系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2020/3/534则22020222111()lim{()()}222TTTjjXXXTTTTSdRedudReduT})(2121{lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21(lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T0)(XR(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)deRjX)(4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12020/3/5自相关函数和功率谱密度皆为偶函数4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)()()1()()2jXXjXXSRedRSedXt若随机过程是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：()2()cos1()()cos