等比数列试题含答案

6-3等比数列基础巩固一、选择题1．(文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝2，则a1＝()A．2B.2C.22D.12[答案]B[解析]∵a3·a9＝(a6)2＝2a25，∴(a6a5)2＝2，又{an}的公比为正数，∴q＝a6a5＝2.∴a1＝a2q＝2.(理)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42[答案]A[解析]∵{an}为正项等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，且a4a5a60，∴a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝52，故选A.2．已知{an}满足：a1＝1，an＋1an＝12，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定[答案]B[解析]∵a1＝1，q＝an＋1an＝12，∴0q1，故{an}为递减数列．3．(2012·新课标理，5)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7[答案]D[解析]本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，a4＝4，a7＝－2⇔a1＝－8，a10＝1⇔a1＋a10＝－7，a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇔a1＋a10＝－7.4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项[答案]B[解析]设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1，所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4.所以两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，an1qn(n－1)2＝64，即(a21qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12，本题利用通项公式转化为基本量a1，q的关系加以解决，利用基本量沟通已知和所求是常用的方法，注意体会．(理)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝()A．1025B．1024C．10250D．10240[答案]C[解析]∵log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N＋)，∴log2xn＋1＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，xn＋1xn＝2(n∈N＋)，又xn0(n∈N＋)，所以数列{xn}是公比为2的等比数列，由x1＋x2＋…＋x10＝10得到x1＝10210－1，所以S20＝x11－2201－2＝10×(210＋1)＝10250.5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16[答案]B[解析]据等比数列性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，∵Sn＝2，S3n＝14，∴(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n0得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)．解得S4n＝30.6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为()A．0B．1C．－1D．2[答案]C[解析]据题意知数列为等比数列，又当公比q≠1时，等比数列前n项和公式为Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－qqn，令a11－q＝a，则有Sn＝a－aqn，故若Sn＝k＋3n，则k＝－1，此外本题可由已知得数列前3项，利用3项为等比数列即可求得k值．二、填空题7．(2012·江西文，13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.[答案]11[解析]本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{an}公比为q，则an＋2＋an＋1－2an＝a1qn＋1＋a1qn－2a1qn－1＝0，所以q2＋q－2＝0，即q＝－2，q＝1(舍去)，∴S5＝1－－251－－2＝11.8．在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n等于________．[答案]13(4n－1)[解析]由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＝1，a2＝2，q＝2又∵{an}是等比数列∴{a2n}也是等比数列，首项为1，公比为4∴a21＋a22＋…＋a2n＝1－4n1－4＝13(4n－1)．三、解答题9．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋54}是等比数列．[解析](1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2，所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2，因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列.能力提升一、选择题1．(文)在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a7－12log2a8＝()A.18B.16C.14D.12[答案]D[解析]∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，∴log2a7－12log2a8＝log2a7a8＝log2a6a8a8＝log2a6＝log22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，12a3，a1成等差数列，则a4＋a5a3＋a4的值为()A.5－12B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12[答案]B[解析]设{an}的公比为q，则q0.∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴1＋q＝q2，又∵q0，∴q＝5＋12，∴a4＋a5a3＋a4＝q＝5＋12.2．(2012·北京文，6)已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2[答案]B[解析]本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a10，q0时，a10，a20，a30，所以A错误；而当q＝－1时，C错误；当q0时由a3a1得a3qa1q，即a4a2，与D项矛盾，所以B项正确．二、填空题3．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于________．[答案]2n－1[解析]an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即a2－a1＝2a3－a2＝22…an－an－1＝2n－1相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－2＋a1＝2n－1.4．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{an}为递增数列，若a10，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．∵{an}是递增的等比数列，且a10，∴q1，又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.(理)(2012·辽宁理，14)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.[答案]2n[解析]本题考查等比数列通项公式的求法．由题意，a25＝a10，则(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q.又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2q2－5q－2＝0，∵q1，∴q＝2，a1＝2，∴an＝a1·qn－1＝2n.三、解答题5．(2012·陕西文，16)已知等比数列{an}的公比q＝－12.(1)若a3＝14，求数列{an}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．[解析](1)由a3＝a1q2＝14及q＝－12，得a1＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝1×[1－－12n]1－－12＝2＋－12n－13.(2)证明：对任意k∈N＋，2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－12得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．6．(文)已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．[解析](1)因为an＝13×13n－1＝13n，Sn＝131－13n1－13＝1－13n2，所以Sn＝1－an2.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.所以{bn}的通项公式为bn＝－nn＋12.(理)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{1bn}的前n项和．[解析](1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q0，故q＝13，由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13，故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－2(1n－1n＋1)，1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝－2nn＋1.所以数列{1bn}的前n项和为－2nn＋1.7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)依题意有3＝2k＋m，①3＋a2＝4k＋m，②3＋a2＋a3＝8k＋m.③解得a2＝2k，a3＝4k，∴公比为q＝a3a2＝2，∴a23＝2，∴k＝3，代入①得m＝－3，∴an＝3·2n－1.(2)解bn＝nan＝n3·2n－1，Tn＝13(1＋22＋322＋…＋n2n－1)，④12Tn＝13(12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n)，⑤④－⑤得12Tn＝13(1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n)，Tn＝231·1－12n1－12－n2n＝43(1－12n－n2n＋1)．