中考数学总复习第二部分热点专题解读专题六-函数的综合探究课件

热点专题解读第二部分专题六函数的综合探究•题型一反比例函数的综合探究•类型1反比例函数与特殊三角形的存在性问题常考题型·精讲例1(2018·湖州)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC＝2，AB＝23，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．2•(1)当OB＝2时，求点D的坐标；•☞解题步骤•第一步：要得到点D的坐标，即要得到点D到横坐标与纵坐标的距离；•第二步：作DE⊥x轴于E，根据已知条件与对称的性质以及解直角三角形，求出DE和CE即可得解．3【解答】如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E.∵∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝ABBC＝3，∴∠ACB＝60°.根据对称性可知DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°，∴CE＝1，DE＝3.∴OE＝OB＋BC＋CE＝5，∴点D的坐标为(5，3)．4•(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；•☞解题步骤•第一步：根据点A和点D在同一个反比例函数的图象上，可以将点A和点D的坐标代入反比例函数中，列出等式；•第二步：设出点A的坐标，表示出点D的坐标，列等式即可得解．【解答】设OB＝a，则点A的坐标(a,23)，由(1)得CE＝1，DE＝3，∴D(3＋a，3)．∵点A，D在同一反比例函数图象上，∴23a＝3(3＋a)，解得a＝3，即OB的长为3.5(3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝kx(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．6•☞解题步骤•第一步：要使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形，则要分两种情形：(1)当∠PA1D＝90°时；(2)当∠PDA1＝90°时；•第二步：在这两种情况下，根据反比例函数的性质，解直角三角形及相似三角形的性质列等式求解即可．7【解答】存在．①如答图2，当∠PA1D＝90°时，∵AD∥PA1，∴∠ADA1＝180°－∠PA1D＝90°.在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝23，∴AA1＝ADcos30°＝4.在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，∴PA＝433，∴PB＝1033.设P(m，1033)，则D1(m＋7，3)，∵P，D1在同一反比例函数图象上，∴1033m＝3(m＋7)，解得m＝3，∴P(3，1033)，∴k＝103.8②如答图3，当∠PDA1＝90°时，∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1，∴△AKP∽△DKA1，∴AKDK＝PKA1K，∴PKAK＝KA1DK.∵∠AKD＝∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，∴∠KPA1＝∠KAD＝30°，∠ADK＝∠KA1P＝30°，∴∠APD＝∠ADP＝30°.∴AP＝AD＝23，AA1＝6.设P(m,43)，则D1(m＋9，3)．∵P，D1在同一反比例函数图象上，∴43m＝3(m＋9)，解得m＝3，∴P(3,43)，∴k＝123.综上，符合题意的k的值为103或123.9•类型2反比例函数与特殊四边形的存在性问题例2(2018·黄冈)如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过点A(3,4)，直线AC与x轴交于点C(6,0)，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．10•(1)求k的值与B点的坐标；☞解题步骤第一步：已知反比例函数的图象过点A，将点A的坐标代入到解析式y＝kx即可求得k的值；第二步：将点C的横坐标代入到反比例函数y＝kx中，可得B点的坐标．11【解答】把点A(3,4)代入y＝kx(x＞0)，得k＝xy＝3×4＝12，故该反比例函数解析式为y＝12x.∵点C(6,0)，BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝12x，得y＝126＝2，∴B(6,2)．综上所述，k的值是12，点B的坐标是(6,2)．12•(2)在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．•☞解题步骤•第一步：画出使以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形所有的D点，如D，D′，D″；•第二步：假设每个D点都符合条件，分情况讨论：当四边形ABCD为平行四边形时；当四边形ACBD′为平行四边形时；当四边形ACD″B为平行四边形时．求出点D的坐标，若能求出，则该点存在，否则该点不存在．13•【解答】•①如答图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．•∵A(3,4)，B(6,2)，C(6,0)，•∴点D的横坐标为3，yA－yD＝yB－yC，•即4－yD＝2－0，•故yD＝2.∴D(3,2)；14•②如答图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．•∵A(3,4)，B(6,2)，C(6,0)，•∴点D′的横坐标为3，yD′－yA＝yB－yC，即yD′－4＝2－0，•故yD′＝6.∴D′(3,6)；•③如答图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC∥BD″且AC＝BD″.•∵A(3,4)，B(6,2)，C(6,0)，∴xD″－xB＝xC－xA，即xD″－6＝6－3，•故xD″＝9.yD″－yB＝yC－yA即yD″－2＝0－4，故yD″＝－2.•∴D″(9，－2)．•综上所述，符合条件的点D的坐标是(3,2)或(3,6)或(9，－2)．15•类型3与反比例函数相关的最值问题例3(2018·深圳)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y＝cx的图象相交于B(－1,5)，C(52，d)两点．16•(1)求k，b的值；•☞解题步骤•第一步：已知反比例函数的图象过点B，将点B的坐标代入解析式即可求得反比例函数的解析式；•第二步：因为C点也在反比例函数图象上，代入C点坐标即可得到d的值，可得C点坐标；•第三步：因为点B和点C都在一次函数的图象上，利用待定系数法确定一次函数的解析式，即可求得k，b的值．17【解答】将点B(－1,5)代入y＝cx，得c＝－1×5＝－5，则反比例函数解析式为y＝－5x.将点C(52，d)代入y＝5x，得d＝－552＝－2，∴点C坐标为(52，－2)．把B(－1,5)，C(52，－2)代入y＝kx＋b，得5＝－k＋b，－2＝52k＋b，解得k＝－2，b＝3.18(2)设点P(m，n)是一次函数y＝kx＋b的图象上的动点．当点P在线段AB(不与A，B重合)上运动时，过点P作x轴的平行线与函数y＝cx的图象相交于点D，求出△PAD面积的最大值．•☞解题步骤•第一步：要求△PAD面积的最大值，首先要利用面积公式表示出△PAD的面积；•第二步：由面积公式可转化成二次函数顶点式求得面积最值；•第三步：由题意可得点A的坐标，再表示出P点的坐标，根据三角形面积公式可得△PAD的面积，根据二次函数的最值问题即可求解．19【解答】由(1)得，一次函数解析式为y＝－2x＋3，令y＝0，即－2x＋3＝0，解得x＝32，则A点坐标为(32，0)，∵P(m，n)在直线y＝－2x＋3上，∴m＝3－n2，∴点P坐标表示为(3－n2，n)．∵DP∥x轴，且点D在y＝－5x的图象上，∴yD＝yP＝n，xD＝－5n，即点D坐标为(－5n，n)，20∴S△PAD的面积＝12×(3－n2＋5n)×n＝－14(n－32)2＋4916.∵a＝－14，∴S有最大值．又∵点P在线段AB(不与A，B重合)上运动，∴－1m32，0n5，∴当n＝32时，即P点坐标为(34，32)时，△PAD的面积最大，最大值为4916.21•一般求面积最值问题有三种方法；•(1)通过面积公式，由线段最值得出面积最值；•(2)面积转换，当面积公式不能直接得到时，利用面积转换求得面积最值；•(3)由面积公式得出二次函数顶点式求得面积最值．22•题型二二次函数的综合探究•类型1二次函数与特殊三角形的存在性问题例4(2018·德阳)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3,1)，二次函数y＝13x2＋bx－32的图象经过点C．23•(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a(x－h)2＋k的形式；•☞思路点拨•已知点C在二次函数的图象上，代入二次函数解析式即可得解．【解答】∵点C(3,1)在二次函数的图象上，∴13×9＋3b－32＝1，解得b＝－16，∴二次函数的解析式为y＝13x2－16x－32，y＝13x2－16x－32＝13(x2－12x＋116－116)－32＝13(x－14)2－7348.24•(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；•☞解题步骤•第一步：要求△ABC扫过区域的面积，画出平移后的图形，即为求S四边形ABDE＋S△DEH；•第二步：证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA＝CK，OB＝AK，于是可得到点A，B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，即可得解．25【解答】如答图，作CK⊥x轴，垂足为点K.∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAK＝90°.又∵∠CAK＋∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK.在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，26∴△BAO≌△ACK(AAS)．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2.∴A(1,0)，B(0,2)．∴当点B平移到点D时，D(m,2)，则2＝13m2－16m－32，解得m＝－3(舍去)或m＝72.∴AB＝OB2＋AO2＝5.∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE＋S△DEH＝72×2＋12×5×5＝192.27•(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．•☞解题步骤•第一步：对于存在性问题，一般先假设存在，然后再对得出的结果进行验证；•第二步：假设P点存在，分两种情况讨论：•(1)当∠ABP＝90°时，证明△BPG≌△ABO，求出点P的坐标，验证点P是否在抛物线的解析式上；•(2)当∠PAB＝90°时，同理，求出点P的坐标，验证点P是否在抛物线的解析式上即可求解．28【解答】存在．①当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为点G，如答图．∵△APB为等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°，∴∠PBG＋∠ABO＝90°.又∵∠PBG＋∠BPG＝90°，∴∠ABO＝∠BPG.在△BPG和△ABO中，∠BPG＝∠ABO，∠PGB＝∠BOA，PB＝AB，∴△BPG≌△ABO.∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P(－2,1)．当x＝－2时，y≠1，∴点P(－2,1)不在抛物线上．29•②当∠PAB＝90°时，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，如答图．同理可知△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，•∴P(－1，－1)．当x＝－1时，y＝－1，•∴点P(－1，－1)在抛物线上．即存在点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，点P的坐标为(－1，－1)．30•类型2二次函数与特殊四边形的存在性问题例5(2018·济宁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3,0)，B(－1,0)，C(0，－3)．31•(1)求该抛物线的解析式；•☞思路点拨•把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可．【解答】把A(3,0)，B(－1,0)，C(0，－3)代入抛物线解析式得9a＋3b＋c＝0，a－b＋c＝0，c＝－3，解得a＝1，b＝－2，c＝－3，则该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.32•(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M